Question

6．設(shè)橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過F₂作橢圓長軸的垂線與橢圓相交，其中的一個交點(diǎn)為P，若△F₁PF₂為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是$\sqrt{2}-1$．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓的方程和點(diǎn)P的坐標(biāo)，把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入橢圓的方程，求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的絕對值，Rt△PF₁F₂ 中，利用邊角關(guān)系，建立a、c 之間的關(guān)系，從而求出橢圓的離心率．

解答 解：設(shè)橢圓的方程為 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），設(shè)點(diǎn)P（c，h），則 $\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{h}^{2}}{^{2}}$=1，
h²=b²-$\frac{^{2}{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{^{4}}{{a}^{2}}$，∴|h|=$\frac{^{2}}{a}$，由題意得∠F₁PF₂=90°，∠PF₁F₂=45°，
Rt△PF₁F₂ 中，tan45°=1=$\frac{P{F}_{2}}{{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{P{F}_{2}}{2c}$=$\frac{|h|}{2c}$=$\frac{^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{2ac}$，
∴a²-c²=2ac，$（\frac{c}{a}）^{2}+2×\frac{c}{a}-1=0$，∴$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$-1．
故答案為：$\sqrt{2}-1$

點(diǎn)評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，直角三角形中的邊角關(guān)系的應(yīng)用．考查計(jì)算能力．屬于中檔題目．