已知函數(shù)f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)設(shè)a<-1,若對(duì)任意x1、x2恒有|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|,求a的取值范圍.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)f′(x)=
a+1
x
+2ax=
2ax2+a+1
x
,(x∈(0,+∞)).對(duì)a分類討論:當(dāng)a≥0時(shí),當(dāng)a≤-1時(shí),當(dāng)-1<a<0時(shí),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可;
(2)不妨設(shè)0<x1≤x2,對(duì)任意x1、x2恒有|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|?f(x1)-f(x2)≥4(x2-x1),
?f(x1)+4x1≥f(x2)+4x2,令g(x)=f(x)+4x,則g′(x)=f′(x)+4=
a+1
x
+2ax+4,等價(jià)于g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,即
a+1
x
+2ax+4≤0,分離參數(shù)即可得出.
解答: 解:(1)f′(x)=
a+1
x
+2ax=
2ax2+a+1
x
,(x∈(0,+∞)).
當(dāng)a≥0時(shí),f′(x)>0,因此函數(shù)f(x)在x∈(0,+∞)單調(diào)遞增.
當(dāng)a≤-1時(shí),f′(x)<0,因此函數(shù)f(x)在x∈(0,+∞)單調(diào)遞減.
當(dāng)-1<a<0時(shí),令f′(x)=0,解得x=
-
a+1
2a

當(dāng)x∈(0,
-
a+1
2a
)
時(shí),f′(x)>0,函數(shù)f(x)在x∈(0,
-
a+1
2a
)
單調(diào)遞增.
當(dāng)x∈(
-
a+1
2a
,+∞)
時(shí),f′(x)<0,函數(shù)f(x)在x∈(
-
a+1
2a
,+∞)
單調(diào)遞減.
(2)不妨設(shè)0<x1≤x2,對(duì)任意x1、x2恒有|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|
?f(x1)-f(x2)≥4(x2-x1),
?f(x1)+4x1≥f(x2)+4x2,(*)
令g(x)=f(x)+4x,則g′(x)=f′(x)+4=
a+1
x
+2ax+4,
(*)等價(jià)于g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,即
a+1
x
+2ax+4≤0,
從而a≤
-4x-1
2x2+1
=
(2x-1)2
2x2+1
-2
≤-2,
∴a的取值范圍是(-∞,-2].
點(diǎn)評(píng):本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法、分類討論的思想方法,考查了分離參數(shù)法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

f(x)為奇函數(shù)當(dāng)x>0,f(x)=sin2x+1,當(dāng)x<0時(shí),f(x)的解析式為( 。
A、f(x)=sin2x+1
B、f(x)=-sin2x+1
C、f(x)=-sin2x-1
D、f(x)=sin2x-1

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定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足下面三個(gè)條件:
①對(duì)任意正數(shù)a,b,都有f(a)+f(b)=f(ab);
②當(dāng)x>1時(shí),f(x)<0;
③f(2)=-1
(Ⅰ)求f(1)和f(
1
4
)
的值;
(Ⅱ)試用單調(diào)性定義證明:函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù);
(Ⅲ)求滿足f(4x3-12x2)+2>f(18x)的x的取值集合.

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對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒有l(wèi)oga(sinx+cosx)2≥-2,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 

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已知直線 L1:y=x+1與橢圓 
x2
4
+
y2
3
=1相交于A、B兩點(diǎn),試求弦AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=
n2-n
2k
+1
(k∈N*
(1)判斷數(shù)列{an}是否成等差數(shù)列?并說明理由;
(2)設(shè)數(shù)列{Tn}的前n項(xiàng)和為
n
k=1
1
akak+1
且T1=k,是否存在實(shí)數(shù)k,使得Tn<2對(duì)所有的n都成立?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2-9x(a≠0),當(dāng)x=-1時(shí)f(x)取得極值5.
(Ⅰ)求f(x)的極小值;
(Ⅱ)對(duì)任意x1,x2∈(-3,3),判斷不等式|f(x1)-f(x2)|<32是否能恒成立,并說明理由.

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已知f(x)=3x2+x,則定積分
2
0
f(x)dx=
 

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如圖,網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1,圖中粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體體積的最小值等于( 。
A、36
B、
63
2
C、18
D、
45
4

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