Question

定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足下面三個條件：
①對任意正數(shù)a，b，都有f（a）+f（b）=f（ab）；
②當(dāng)x＞1時，f（x）＜0；
③f（2）=-1
（Ⅰ）求f（1）和f(

1

4

)的值；
（Ⅱ）試用單調(diào)性定義證明：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；
（Ⅲ）求滿足f（4x³-12x²）+2＞f（18x）的x的取值集合．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求f（1），f（

1

4

）的值只需令x=y=1代入f（xy）=f（x）+f（y）即可求得f（1）；同理求出f（9），令x=9，xy=1，代入等式即可求得答案；
（Ⅱ）證明f（x）在R⁺是減函數(shù)；取定義域中的任意的x₁，x₂，且0＜x₁＜x₂然后根據(jù)關(guān)系式f（xy）=f（x）+f（y），證明f（x₁）＞f（x₂）即可；
（Ⅲ）由（1）的結(jié)果可將不等式f（4x³-12x²）+2＞f（18x）轉(zhuǎn)化成f（x³-3x²）＞f（18x），再根據(jù)單調(diào)性，列出不等式，解出取值范圍即可．

解答： 解：（Ⅰ）令x=y=1得f（1）=f（1）+f（1），則f（1）=0，
而f（4）=f（2）+f（2）=-1-1=-2，
且f（4）+f（

1

4

）=f（1）=0，則f（

1

4

）=2；
（Ⅱ）取定義域中的任意的x₁，x₂，且0＜x₁＜x₂，
∴

x2

x1

＞1，
當(dāng)x＞1時，f（x）＜0，
∴f（

x2

x1

）＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₁•

x2

x1

）-f（x₁）=f（x₁）+f（

x2

x1

）-f（x₁）=f（

x2

x1

）＜0，
∴f（x）在R⁺上為減函數(shù)．
（Ⅲ）由條件①及（Ⅰ）的結(jié)果得，
∵f（4x³-12x²）+2＞f（18x），
∴f（4x³-12x²）+f（

1

4

）＞f（18x），
∴f（x³-3x²）＞f（18x），
∴

x3-3x2＞0 18x＞0 x3-3x2＜18x

解得3＜x＜6，
故x的取值集合為（3，6）

點(diǎn)評：本題主要考查抽象函數(shù)的一系列問題．其中涉及到函數(shù)單調(diào)性的證明，函數(shù)值的求解問題，屬于綜合性問題，涵蓋知識點(diǎn)較多，屬于中檔題．