Question

1．點P在曲線y=-e^-x上，點Q在曲線y=lnx上，線段PQ的中點為M，O是坐標(biāo)原點，則線段OM的長的最小值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 考慮到兩曲線關(guān)于直線y=-x對稱，求線段OM的長的最小值，可轉(zhuǎn)化為點P到直線y=-x的最近距離，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求曲線上斜率為1的切線方程，從而得此距離．

解答 解：∵曲線y=-e^-x與y=lnx，其圖象關(guān)于y=-x對稱，
故線段OM的長的最小值，可轉(zhuǎn)化為點P到直線y=-x的最近距離d
設(shè)曲線y=-e^-x上斜率為1的切線為y=x+b，
∵y′=e^-x，由e^x=1，得x=0，故切點坐標(biāo)為（0，-1），即b=-1
∴d=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴線段OM的長的最小值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題主要考查了函數(shù)圖象的對稱性，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線的切線方程的求法，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法．