Question

已知函數(shù)f（x）=mx³-3（m+1）x²+（3m+6）x+1，其中m∈R，m＜0，（1）若m=-2，求y=f（x）在（2，-3）處的切線方程；（2）當(dāng)x∈[-1，1]時，函數(shù)y=f（x）的圖象上任意一點的切線斜率恒大于3m，求m的取值范圍．

Answer 1

（1）m=-2時，f（x）=-2x³+3x²+1，
∴f′（x）=-6x²+6x，
∴y=f（x）在（2，-3）處的切線方程的斜率k=f′（2）=-12，
y=f（x）在（2，-3）處的切線方程為y+3=-12（x-2），
即12x+y-21=0．…5分
（2）∵f（x）=mx³-3（m+1）x²+（3m+6）x+1，其中m∈R，m＜0，
∴f′（x）=3mx²-6（m+1）x+3m+6，
∵當(dāng)x∈[-1，1]時，函數(shù)y=f（x）的圖象上任意一點的切線斜率恒大于3m，
∴f′（x）＞3m，即mx²-2（m+1）x+2＞0．…6分
又m＜0
所以x2-

2

m

(m+1)x+

2

m

＜0
即x2-

2

m

(m+1)x+

2

m

＜0，x∈[-1，1]
①設(shè)g(x)=x2-2(1+

1

m

)x+

2

m

，
其函數(shù)開口向上，由題意知①式恒成立，…8分
所以

g(-1)＜0 g(1)＜0

?

1+2+ 2 m + 2 m ＜0 -1＜0

，
解之得-

4

3

＜m，又m＜0，…11分
所以-

4

3

＜m＜0，
即m的取值范圍為(-

4

3

，0)．…12分