Question

如圖，在正方形ABCD中，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=2，E、F分別是AB與PD的中點．
（1）求證：PC⊥AF；
（2）求證：AF∥平面PEC；
（3）求證：PD⊥平面AFE．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由于AC是斜線PC在平面ABCD上的射影，故可利用三垂線定理，轉(zhuǎn)化為證明：AC⊥BD
（2）要證明AF∥平面PEC，關鍵是要找到平面PEC中與AF平行的直線
（3）連接FE，因為ABCD是正方形，且PA=AB=2，E、F分別是AB與PD的中點，得到EF⊥PD，AF∩PD，由線面垂直的判定定理判斷．

解答： 解：（1）連接AC，則AC⊥BD．
∵PA⊥平面ABCD，AC是斜線，
PC在平面ABCD上的射影，
∴由三垂線定理得PC⊥BD．
（2）取PC的中點K，連接FK、EK，
則四邊形AEKF是平行四邊形，
∴AF∥EK，又EK?平面PEC，
AF?平面PEC，
∴AF∥平面PEC．
（3）連接EF，因為ABCD是正方形，且PA=AB=2，E、F分別是AB與PD的中點．
所以PE=DE=

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，
所以EF⊥PD，AF∩PD，
所以PD⊥平面AEF．

點評：本題考查了線面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理；
判斷或證明線面平行的常用方法有：①利用線面平行的定義（無公共點）；②利用線面平行的判定定理（a∥α，b?α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性質(zhì)定理（α∥β，a?α⇒a∥β）；④利用面面平行的性質(zhì)（α∥β，a?β，a∥α⇒a∥β）．