Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，BD交AC于點(diǎn)E，F(xiàn)是線段PC中點(diǎn)，G為線段EC中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：FG∥平面PBD；
（Ⅱ）求證：BD⊥FG．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連接PE，G，F(xiàn)為EC和PC的中點(diǎn)，得到FG∥PE，利用線面平行的判定定理可證；
（Ⅱ）利用菱形的性質(zhì)得到BD⊥AC，再由PA⊥面ABCD，得到BD⊥PA，結(jié)合線面垂直的判定定理得到BD⊥平面PAC，進(jìn)一步由線面垂直的性質(zhì)得到所證．

解答： 證明：（Ⅰ）連接PE，G、F為EC和PC的中點(diǎn)，

∴FG∥PE，F(xiàn)G?平面PBD，PE?平面PBD，
∴FG∥平面PBD…（6分）
（Ⅱ）∵菱形ABCD，∴BD⊥AC，
又PA⊥面ABCD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥PA，
∵PA?平面PAC，AC?平面PAC，且PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC，F(xiàn)G?平面PAC，
∴BD⊥FG…（14分）

點(diǎn)評：本題考查了線面平行的判定定理的運(yùn)用和線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的運(yùn)用，關(guān)鍵是熟練相關(guān)的定理．