Question

8．已知曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cost}\\{y=3+sint}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)）曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=4．
（1）在同一平面直角坐標(biāo)系中，將曲線C₂上的點(diǎn)按坐標(biāo)變換y′=yx，后得到曲線C′．求曲線C′的普通方程，并寫出它的參數(shù)方程；
（2）若C₁上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t=$\frac{π}{2}$，Q為C′上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)M到直線C₃：$\left\{\begin{array}{l}{x=2t}\\{y=4+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）的距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}x′=\frac{1}{2}x\\ y′=y\end{array}$得到$\left\{\begin{array}{l}x=2x′\\ y=y′.\end{array}$，代入曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=4．化簡可得橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=4經(jīng)伸縮變換后得到的曲線方程．利用平方關(guān)系可得它的參數(shù)方程．
（2）當(dāng)t=$\frac{π}{2}$時(shí)，P（-4，4），Q（2cosθ，2sinθ），故M（-2+cosθ，2+sinθ）．曲線C₃：為直線x-2y+8=0，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得M到C₃的距離d=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$|$\sqrt{5}$cos（θ+α）+2|，利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}x′=\frac{1}{2}x\\ y′=y\end{array}$得到$\left\{\begin{array}{l}x=2x′\\ y=y′.\end{array}$①
將①代入曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=4．得$\frac{4（{x}^{′}）^{2}}{4}$+（y′）²=4，即（x′）²+（y′）²=4．
因此橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=4經(jīng)伸縮變換后得到的曲線方程是x²+y²=4．…（4分）
它的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.（θ為參數(shù)）$…（5分）
（2）當(dāng)t=π/2時(shí)，P（-4，4），Q（2cosθ，2sinθ），故M（-2+cosθ，2+sinθ）…（7分）
曲線C₃：為直線x-2y+8=0，
M到C₃的距離d=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$|（-2+cosθ）-2（2+sinθ）+8|=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$|cosθ-2sinθ+2|=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$|$\sqrt{5}$cos（θ+α）+2|…（10分）
從而tanα=2時(shí)d的最小值為$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$|-$\sqrt{5}$+2|=$1-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程方程化為直角坐標(biāo)方程、坐標(biāo)變換、點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．