【題目】在△ABC中,內角A,B,C對應的邊分別為a,b,c(a≤b≤c),且bcosC+ccosB=2asinA. (Ⅰ)求角A;
(Ⅱ)求證: ;
(Ⅲ)若a=b,且BC邊上的中線AM長為 ,求△ABC的面積.

【答案】解:(Ⅰ)∵bcosC+ccosB=2asinA, ∴sinBcosC+sinCcosB=2sinAsinA,
即sin(B+C)=2sinAsinAsinA=2sinAsinA,
∵sinA>0,∴sinA= ,
∵a≤b≤c,
∴0<A≤ ,
∴A= ;
(Ⅱ)∵a2﹣(2﹣ )bc=b2+c2﹣2bccos ﹣(2﹣ )bc=b2+c2﹣2bc=(b﹣c)2≥0,
∴a2≥(2﹣ )bc;
(Ⅲ)由a=b及(Ⅰ)知A=B=
∴C= ,
設AC=x,則MC= x,
又AM=
在△AMC中,由余弦定理得AC2+MC2﹣2ACMCcosC=AM2 ,
即x2+( 2﹣2x cos120°=7,
解得:x=2,
則SABC= x2sin =
【解析】(Ⅰ)已知等式利用正弦定理化簡,利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及二倍角的正弦函數(shù)公式化簡,再利用誘導公式化簡求出sinA的值,即可確定出A的度數(shù);(Ⅱ)表示出所證不等式左右兩邊之差,利用余弦定理及完全平方公式性質化簡,判斷差的正負即可得證;(Ⅲ)由a=b,得到A=B,求出C的度數(shù),在三角形AMC中,由AM的長與cosC的值,求出AC的長,利用三角形面積公式求出三角形ABC面積即可.
【考點精析】本題主要考查了余弦定理的定義的相關知識點,需要掌握余弦定理:;;才能正確解答此題.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某淘寶店經過對春節(jié)七天假期的消費者進行統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)在金額不超過1000元的消費者中男女比例為,該店按此比例抽取了100名消費者進行進一步分析,得到下表女性消費情況:

消費金額(元)

人數(shù)

5

10

15

47

3

男性消費情況:

消費金額(元)

人數(shù)

2

3

10

3

2

若消費金額不低于600元的網購者為“網購達人”,低于600元的網購者為“非網購達人”

(1)分別計算女性和男性消費的平均數(shù),并判斷平均消費水平高的一方“網購達人”出手是否更闊綽?

(2)根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫如下列聯(lián)表,并回答能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為“是否為‘網購達人’與性別有關”.

女性

男性

合計

“網購達人”

“非網購達人”

合計

附: .

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

(1)若,求處的切線方程;

(2)若在區(qū)間上恰有兩個零點,求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在銳角三角形ABC中,2sin(A+B)﹣ =0,c=
(1)求角C的大;
(2)求△ABC的面積的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】綜合題。
(1)已知點A(﹣1,﹣2)和B(﹣3,6),直線l經過點P(1,﹣5).且與直線AB平行,求直線l的方程
(2)求垂直于直線x+3y﹣5=0,且與點P(﹣1,0)的距離是 的直線m的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)當時,求的最大值與最小值;

(Ⅱ)討論方程的實根的個數(shù).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知向量 =(﹣2,1), =(x,y)
(1)若x,y分別表示將一枚質地均勻的正方體骰子(六個面的點數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時第一次、第二次出現(xiàn)的點數(shù),求滿足 =﹣1的概率;
(2)若x,y在連續(xù)區(qū)間[1,6]上取值,求滿足 <0的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知橢圓 )的短軸長為2,以為中點的弦經過左焦點,其中點不與坐標原點重合,射線與以圓心的圓交于點.

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)若四邊形是矩形,求圓的半徑;

(Ⅲ)若圓的半徑為2,求四邊形面積的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是(
A.
B. 與g(x)=2x﹣1
C.f(x)=x0與g(x)=1
D.f(x)=x2﹣2x﹣1與g(t)=t2﹣2t﹣1

查看答案和解析>>

同步練習冊答案