Question

(本小題滿(mǎn)分12分)

如圖，正方體中， E是的中點(diǎn)．

（1）求證：∥平面AEC；

（2）求與平面所成的角.

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：見(jiàn)解析；（2）直線(xiàn)與平面所成的角為.

【解析】

試題分析： （1）作AC的中點(diǎn)F，連接EF，則根據(jù)三角形的中位線(xiàn)證明線(xiàn)線(xiàn)平行，進(jìn)而得到線(xiàn)面平行的證明。

（2）要利用線(xiàn)面垂直為前提得到斜線(xiàn)的射影，進(jìn)而得到線(xiàn)面角的大小。

解：（1）證明：連結(jié)BD，交AC于點(diǎn)O，連結(jié)EO.

因?yàn)镋、O分別是與的中點(diǎn)，

所以O(shè)E∥.

又因?yàn)镺E在平面AEC內(nèi)，不在平面AEC內(nèi)，

所以∥平面AEC.

（2）因?yàn)檎�方體中，

⊥平面ABCD，所以⊥BD，

又正方形ABCD中，AC⊥BD，

所以BD⊥平面，

所以∠是與平面所成的角.

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，中，，

所以，所以，

所以直線(xiàn)與平面所成的角為.

考點(diǎn)：本題主要考查了考查證明線(xiàn)面平行、線(xiàn)面垂直的方法，直線(xiàn)和平面平行的判定，面面垂直的判定，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用線(xiàn)面平行的判定定理和線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理得到線(xiàn)面角的大小，進(jìn)而求解到。