Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，且過點（-

2 6

3

，1）．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過橢圓的右焦點F作兩條直線分別與橢圓交于A，C與B，D，若

AC

•

BD

=0，求四邊形ABCD面積的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件得3a²=4b²，

8

3a2

+

1

b2

=1，由此能求出橢圓方程．
（2）當AC，BD中有一條與x軸垂直時，四邊形ABCD的面積為S=6，當AC，BD與x軸都不垂直時，設(shè)直線AC為y=k（x-1），k≠0，直線BD為y=-

1

k

(x-1)．由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得|AC|=

12(1+k2)

4k2+3

，同理|BD|=

12(k2+1)

3k2+4

，由此能求出四邊形ABCD面積的取值范圍是（6，

288

49

]．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓的集中為2c，則橢圓的離心率

c

a

=

1

2

，
∴

a2-b2

a2

=

1

4

，∴3a²=4b²，①
把點（-

2 6

3

，1）代入橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
得

8

3a2

+

1

b2

=1，②
由①②解得a²=4，b²=3，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）當AC，BD中有一條與x軸垂直時，把x=1代入橢圓，
得y=±

3

2

，∴其中一條弦長為3，
四邊形ABCD的面積為S=

1

2

|AC|•|BD|=

1

2

×4×3=6，
當AC，BD與x軸都不垂直時，設(shè)直線AC為y=k（x-1），k≠0，
則直線BD為y=-

1

k

(x-1)．
由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則x1+x2=

8k2

4k2+3

，x1x2=

4k2-12

4k2+3

，
∴|AC|=

1+k2

•

(x12+x22)-4x1x2

=

1+k2

•

( 8k2 4k2+3 )2- 4(4k2-12) 4k2+3

=

12(1+k2)

4k2+3

，
同理，|BD|=

12[1+(- 1 k )2]

4(- 1 k )2+3

=

12(k2+1)

3k2+4

，
∴四邊形ABCD的面積為：
S=

1

2

|AC|•|BD|=

1

2

•

12(1+k2)

4k2+3

•

12(k2+1)

3k2+4

=

72k4+144k2+72

12k4+25k2+12

=6-

6k2

12k4+25k2+12

=6-

6

12k2+ 12 k2 +25

，
而12k2+

12

k2

≥24，當且僅當k²=1時取等號，
∴S≥6-

6

49

=

288

49

，且S＜6，
綜上，四邊形ABCD面積的取值范圍是[6，

288

49

]．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查四邊形面積的求法，解題時要認真審題，注意橢圓弦長公式的合理運用．