Question

【題目】已知函數(shù)， ．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線切于點(diǎn)，求的值；

（Ⅲ）若恒成立，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）先明確函數(shù)定義域，再求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號確定單調(diào)區(qū)間，（2）由導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率為，則得， .即得（3）不等式恒成立問題，一般轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題：先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值： 當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增. 僅當(dāng)時(shí)滿足條件，此時(shí)；當(dāng)時(shí)， 先減后增， ，再變量分離轉(zhuǎn)化為，最后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)

最值，可得的最大值．

試題解析：解：（Ⅰ） ，則.

令得，所以在上單調(diào)遞增.

令得，所以在上單調(diào)遞減.

（Ⅱ）因?yàn)?/span>，所以，所以的方程為.

依題意， ， .

于是與拋物線切于點(diǎn)，

由得.

所以

（Ⅲ）設(shè),則恒成立.

易得

（1）當(dāng)時(shí)，

因?yàn)?/span>，所以此時(shí)在上單調(diào)遞增.

①若，則當(dāng)時(shí)滿足條件，此時(shí)；

②若，取且

此時(shí)，所以不恒成立．

不滿足條件；

（2）當(dāng)時(shí)，

令，得由，得；

由，得

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

要使得“恒成立”，必須有

“當(dāng)時(shí)， ”成立.

所以.則

令則

令，得由，得；

由，得所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,

所以，當(dāng)時(shí)，

從而，當(dāng)時(shí)， 的最大值為.

綜上， 的最大值為.