Question

15．已知復數(shù)z是方程x²+2x+10=0解，且Imz＜0，若$\frac{a}{z}$+$\overline{z}$=bi（其中a、b為實數(shù)，i為虛數(shù)單位，）Imz表示z的虛部）；
（I） 求復數(shù)w=a+bi的模；
（Ⅱ）若不等式x²+kx-a≥0在x∈[0，5]上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在復數(shù)集范圍內求解一元二次方程得z，代入$\frac{a}{z}$+$\overline{z}$=bi，由復數(shù)相等的條件列式求得a，b的值，則復數(shù)w=a+bi的模可求；
（Ⅱ）把a代入不等式x²+kx-a≥0，分離參數(shù)k，利用基本不等式求最值，則實數(shù)k的取值范圍可求．

解答 解：（Ⅰ）方程x²+2x+10=0的解為$x=\frac{-2±6i}{2}=-1±3i$，
∵Imz＜0，
∴z=-1-3i，
將z=-1-3i代入$\frac{a}{z}$+$\overline{z}$=bi，得$\frac{a}{-1-3i}-1+3i=bi$，
化簡得：a+10=-bi，即a=-10，b=0．
∴w=a+bi=-10，
則|w|=10；
（Ⅱ）不等式x²+kx-a≥0在x∈[0，5]上恒成立，
即kx≥a-x²=-10-x²在x∈[0，5]上恒成立，
x=0時，不等式成立；
當x≠0時，有k≥$-\frac{10}{x}-x$在x∈（0，5]上恒成立，
∵$-\frac{10}{x}-x=-（\frac{10}{x}+x）≤-2\sqrt{10}$，當且僅當x=$\sqrt{10}$時等號成立，
∴$k≥-2\sqrt{10}$．
綜上，k的取值范圍為[-2$\sqrt{10}$，+∞）．

點評 本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)相等的條件，訓練了函數(shù)恒成立問題的求解方法，是中檔題．