Question

7．函數(shù)y=$\sqrt{-{x}^{2}+4x+2}$的值域是[0，$\sqrt{6}$]．

Answer 1

分析 由-x²+4x+2≥0，化為x²-4x-2≤0，解得x的范圍即為函數(shù)的定義域．又函數(shù)y=$\sqrt{-{x}^{2}+4x+2}$=$\sqrt{-（x-2）^{2}+6}$，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：由-x²+4x+2≥0，化為x²-4x-2≤0，解得$2-\sqrt{6}$≤x≤2+$\sqrt{6}$．
∴函數(shù)的定義域為[$2-\sqrt{6}$，2+$\sqrt{6}$]．
又函數(shù)y=$\sqrt{-{x}^{2}+4x+2}$=$\sqrt{-（x-2）^{2}+6}$≤$\sqrt{6}$，當且僅當x=2時取等號．
∴函數(shù)的值域為[0，$\sqrt{6}$]．
故答案為：[0，$\sqrt{6}$]．

點評 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、一元二次不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．