Question

16．如圖，等高的正三棱錐P-ABC與圓錐SO的底面都在平面M上，且圓O過點A，又圓O的直徑AD⊥BC，垂足為E，設(shè)圓錐SO的底面半徑為1，圓錐體積為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}π$．
（1）求圓錐的側(cè)面積；
（2）求異面直線AB與SD所成角的大小；
（3）若平行于平面M的一個平面N截得三棱錐與圓錐的截面面積之比為$\frac{{\sqrt{3}}}{π}$，求三棱錐的側(cè)棱PA與底面ABC所成角的大�。�

Answer 1

分析 （1）設(shè)圓錐的高為h，由圓錐體積公式求出$h=\sqrt{3}$，從而得到SD=2，由此能求出圓錐的側(cè)面積．
（2）作DF∥AB交圓O于F，連結(jié)AF、SF，則∠SDF（或其補角）就是異面直線AB與SD所成角，由此能求出異面直線AB與SD所成角大�。�
（3）由題意知，$\frac{{{S_{△ABC}}}}{{{S_{⊙O}}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{π}$，從而求出正三棱錐的底面△ABC的邊長為2，$AE=\sqrt{3}$，設(shè)點Q是正△ABC的中心，則∠PAQ三棱錐的側(cè)棱PA與底面ABC所成角，由此能求出三棱錐的側(cè)棱PA與底面ABC所成角的大�。�

解答 （本題滿分12分）
解：（1）設(shè)圓錐的高為h，
由$V=\frac{1}{3}π×{1^2}×h=\frac{{\sqrt{3}π}}{3}$
得$h=\sqrt{3}$，∴SD=2，
∴S_側(cè)=2π；（3分）
（2）作DF∥AB交圓O于F，
連結(jié)AF、SF，則∠SDF（或其補角）就是異面直線AB與SD所成角，
Rt△ADF中，AD=2，∠ADF=∠EAB=30°，∴$DF=\sqrt{3}$，
等腰△SDF中，$cos∠SDF=\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
∴異面直線AB與SD所成角大小為$arccos\frac{{\sqrt{3}}}{4}$；（7分）
（3）由題意知，$\frac{{{S_{△ABC}}}}{{{S_{⊙O}}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{π}$，∴${S_{△ABC}}=\frac{{\sqrt{3}}}{π}{S_{⊙O}}=\frac{{\sqrt{3}}}{π}•π=\sqrt{3}$，
則正三棱錐的底面△ABC的邊長為2，$AE=\sqrt{3}$，
設(shè)點Q是正△ABC的中心，則Q在AE上，PQ⊥平面ABC，
∠PAQ三棱錐的側(cè)棱PA與底面ABC所成角，
Rt△PQA中，$PQ=h=\sqrt{3}$，$AQ=\frac{2}{3}AE=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，$tan∠PAQ=\frac{PQ}{AQ}=\frac{3}{2}$，
∴三棱錐的側(cè)棱PA與底面ABC所成角的大小為$arctan\frac{3}{2}$．（12分）

點評 本題考查圓錐的側(cè)面積的求法，考查側(cè)棱與底面所成角的大小的求法，考查異面直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．