Question

已知奇函數(shù)f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上有意義，且在（0，+∞）上單調(diào)遞減，f（3）=0．又g(θ)=cos2θ-2mcosθ+4m，θ∈[0，

π

2

]．若集合M={m|g（θ）＞0}，集合N={m|f[g（θ）]＜0}
（1）x取何值時(shí)，f（x）＜0；
（2）求M∩N．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,交集及其運(yùn)算,二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，由此能求出-3＜x＜0或x＞3時(shí)，f（x）＜0．
（2）由（1）知M∩N={m|g（θ）＞3}，又cos²θ-mcosθ+2m-2＞0，設(shè)cosθ=t，t∈[0，1]，則cosθ=t，t∈[0，1]，則h（t）=t²-mt+2m-2=（t-

m

2

）²-

m2

4

+2m-2，求m∩N，即求h（t）在t∈[0，1]上恒成立的m的取值集合，由此能求出M∩N．

解答： （本小題滿分14分）
解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，且在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，
又f（3）=0，則f（-3）=-f（3）=0，
∴-3＜x＜0或x＞3時(shí)，f（x）＜0．
（2）由（1）知N={m|f[g（θ）]＜0}={m|-3＜g（θ）＜0或g（θ）＞3}，
∴M∩N={m|g（θ）＞3}，
又g（θ）=cos2θ-2mcosθ+4m＞3，即cos²θ-mcosθ+2m-2＞0，
設(shè)cosθ=t，t∈[0，1]，
則cosθ=t，t∈[0，1]，
則h（t）=t²-mt+2m-2=（t-

m

2

）²-

m2

4

+2m-2，
求m∩N，即求h（t）在t∈[0，1]上恒成立的m的取值集合，
①若

m

2

＜0，即m＜0時(shí)，h（t）在[0，1]上單調(diào)遞增，
則h（t）_min=h（0）=2m-2＞0，此時(shí)m∈∅．
②若0≤

m

2

＜1時(shí)，即0≤m＜2時(shí)，
h（t）_min=h（

m

2

）=-

m2

4

+2m-2＞0，
解得4-2

2

＜m＜4+2

2

，此時(shí)m∈（4-2

2

，2）．
③若

m

2

≥1，即m≥2時(shí)，h（t）在[0，1]上遞減，
h（t）_min=h（1）=m-1＞0，解得m＞1，
此時(shí)m∈[2，+∞）．
綜上所述，M∩N={m|m＞4-2

2

}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．