【題目】已知是自然對數(shù)的底數(shù),函數(shù)的定義域都是.

(1)求函數(shù)在點處的切線方程;

(2)判斷函數(shù)零點個數(shù);

(3)用表示的最小值,設,,若函數(shù)上為增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.

【答案】(1);(2)函數(shù)只有一個零點;(3).

【解析】

(1)先求導數(shù),代入為直線的斜率,利用點斜式可求直線方程;

(2)先求導數(shù),結合導數(shù)的符號,判定零點的個數(shù);

(3)為增函數(shù),轉化為恒成立,然后利用分離參數(shù)法求解.

(1)∵,∴切線的斜率,.

∴函數(shù)在點處的切線方程為.

(2)∵,,∴,,

存在零點,且.∵

∴當時,;當時,由

.∴上是減函數(shù).

∴若,,,則.∴函數(shù)只有一個零點,且.

(3)解:,故

∵函數(shù)只有一個零點,∴,即.∴.

為增函數(shù)恒成立.

,即在區(qū)間上恒成立.

,只需,

,單調遞減,在單調遞增.

的最小值.

時,,由上述得,則恒成立.

綜上述,實數(shù)的取值范圍是.

練習冊系列答案
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參考數(shù)據(jù):.

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