Question

5．已知f（x）=x+asinx．
（1）若a=1．求f（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值；
（2）若f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出f（x）的最大值和最小值；
（2）根據(jù)f′（x）≥0，得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）a=1時(shí)，f（x）=x+sinx，f′（x）=1+cosx≥0，
∴f（x）在[0，1]遞增，
∴f（x）_max=f（1）=1+sin1，f（x）_min=f（0）=0；
（2）∵f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，
∴f′（x）=1+acosx≥0對(duì)x∈（-∞，+∞）恒成立，
令t=cosx，則1+at≥0對(duì)t∈[-1，1]恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+a•（-1）≥0}\\{1+a•1≥0}\end{array}\right.$，解得-1≤a≤1，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1，1]．

點(diǎn)評(píng) 考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的能力．