Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足

an+1

an

=q，且q≠0，數(shù)列{b_n}滿足b_n=na₁+（n-1）a₂+（n-2）a₃+…+2a_n-1+a_n（n∈N^*），已知b₁=m，b₂=

3m

2

，其中m≠0：
（Ⅰ）當(dāng)m=1時，求b_n；
（Ⅱ）設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，若對于任意的正整數(shù)n，都有S_n²-4s_n+3≤0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)已知等式可求得a₁和a₂，進而求得數(shù)列的公比，得到數(shù)列的通項公式．進而通過錯位相減法求得b_n．
（Ⅱ）通過等比數(shù)列求和公式表示出S_n，根據(jù)S_n²-4s_n+3≤0恒成立求得s_n的范圍，進而根據(jù)n為奇數(shù)和偶數(shù)分類討論，求得1-（-

1

2

）ⁿ的最大和最小值，最后求得m的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由已知b₁=a₁，
∴a₁=m，
又∵b₂=2a₁+a₂，
∴2a₁+a₂=

3m

2

，解得a₂=-

m

2

，
∴數(shù)列{a_n}的公比q=-

1

2

，
當(dāng)m=1時，a_n=（-

1

2

）^n-1，
b_n=na₁+（n-1）a₂+（n-2）a₃+…+2a_n-1+a_n，①
-

1

2

b_n=na₂+（n-1）a₃+…+2a_n+a_n+1，②
②-①得

3

2

b_n=-n+a₂+a₃+…+a_n+a_n+1，
∴

3

2

b_n=-n+

- 1 2 [1-(- 1 2 )n]

1+ 1 2

=n-

1

3

[1-（-

1

2

）ⁿ]，
∴b_n=

2n

3

+

2

9

-

2

9

（-

1

2

）ⁿ=

6n+2+(-2)2-n

9

．
（Ⅱ）S_n=

m[1-(- 1 2 )n]

1+ 1 2

=

2m

3

[1-（-

1

2

）ⁿ]，
∵1-（-

1

2

）ⁿ＞0，
∵S_n²-4s_n+3≤0恒成立，
∴1≤S_n≤3，
∴

1

1-(- 1 2 )n

≤

2m

3

≤

3

1-(- 1 2 )n

，
當(dāng)n為奇數(shù)時，1-（-

1

2

）ⁿ∈（1，

3

2

]，
當(dāng)n為偶數(shù)時，1-（-

1

2

）ⁿ∈[

3

4

，1]．
∴1-（-

1

2

）ⁿ的最大值為

3

2

，最小值為

3

4

，
∴

4

3

≤

2m

3

≤2，解得2≤m≤3．即所求實數(shù)m的取值范圍是[2，3]

點評：本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式和求和公式，數(shù)列的遞推式等知識．用裂項法，錯位相減法，公式法等求數(shù)列的和，是常用的方法．