Question

11．已知函數$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$
（1）若點$P（1，-\sqrt{3}）$在角α的終邊上，求$f（\frac{α}{2}-\frac{π}{12}）$的值
（2）若$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用任意角的三角函數的定義，求得sinα的值，可得$f（\frac{α}{2}-\frac{π}{12}）$的值；
（2）根據$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$，利用正弦函數的定義域和值域，求得f（x）的值域．

解答 解：（1）∵點$P（1，-\sqrt{3}）$在角α的終邊上，∴$sinα=\frac{{-\sqrt{3}}}{{\sqrt{{1^2}+{{（-\sqrt{3}）}^2}}}}=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$f（\frac{α}{2}-\frac{π}{12}）=2sin[2（\frac{α}{2}-\frac{π}{12}）+\frac{π}{6}]=2sinα=-\sqrt{3}$．
（2）∵$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$，∴$2x+\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}]$，∴$-\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$，
∴$-1≤2sin（2x+\frac{π}{6}）≤2$，即函數的值域為[-1，2]．

點評 本題主要考查任意角的三角函數的定義，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．