Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²+2ax（x＞0），g（x）=3a²lnx+b，其中a＞0．
（Ⅰ）若a=e時，兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點，且在公共點處的切線相同，求b的值；
（Ⅱ）若f（x）≥g（x）-b對任意x∈（0，+∞）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其公共點可得兩個方程，聯(lián)立解出即可得出．
（II）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：（I）f'（x）=x+2e，$g'（x）=\frac{{3{e^2}}}{x}$，設(shè)公共點為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}{x_0}^2+2e{x_0}=3{e^2}ln{x_0}+b\\{x_0}+2e=\frac{{3{e^2}}}{x_0}（*）\end{array}\right.$，
由（*）解得x₀=e或x₀=-3e（舍去），代回到第一個方程，解得$b=-\frac{e^2}{2}$．
（Ⅱ）令$F（x）=f（x）-g（x）+b=\frac{1}{2}{x^2}+2ax-3{a^2}lnx（x＞0）$，
$F'（x）=x+2a-\frac{{3{a^2}}}{x}=x+2a-\frac{{3{a^2}}}{x}=\frac{（x-a）（x+3a）}{x}$，
∵x＞0，且a＞0，
∴F（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，F(xiàn)（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增，
∴F（x）在x=a取得極小值，也是最小值，則$F（a）=\frac{1}{2}{a^2}+2{a^2}-3{a^2}lna≥0$，
解得$0＜a≤{e^{\frac{5}{6}}}$．
∴實數(shù)a的取值范圍是$（0，{e}^{\frac{5}{6}}]$．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、幾何意義、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．