Question

如圖，ABCD為正四面體，AD⊥面α于點(diǎn)A，點(diǎn)B、C、D均在平面α外，且在平面α的同一側(cè)，線段BC的中點(diǎn)為E，則直線AE與平面α所成角的正弦值為（　　）

• A、

  3

  3

• B、

  3

  2

• C、

  2

  2

• D、

  1

  2

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角

專題：數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化思想,空間位置關(guān)系與距離

分析：設(shè)出正四面體ABCD的棱長(zhǎng)，由AD⊥平面α于A，點(diǎn)B、C、D均在平面α外，且在平面α同一側(cè)，若取AD的中點(diǎn)M，易證AD⊥平面BCM，故平面BCM∥平面α，將求點(diǎn)E到平面α距離的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩平面間距離的問(wèn)題求解，則直線AE與平面α所成角的正弦值為E到平面α距離除以AE．

解答： 解：如圖，

∵四面體ABCD為正四面體，設(shè)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，
則△ABC為邊長(zhǎng)為a的正三角形，又E為BC邊的中點(diǎn)，∴AE⊥BC，
在Rt△AEB中，AE=

AB2-BE2

=

a2-( a 2 )2

=

3

2

a．
取AD的中點(diǎn)M，連接BM、CM，
∵四面體ABCD為正四面體，∴BM⊥AD，CM⊥AD，
又BM∩CM=M，
由線面垂直的判定定理知，AD⊥平面BCM，
故平面BCM∥平面α，
∴平面BCM到平面α的距離為

a

2

，
∴E到平面α的距離為

a

2

．
則直線AE與平面α所成角的正弦值sinα=

a 2

AE

=

a 2

3 2 a

=

3

3

．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與平面所成的角，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，在解答此題的過(guò)程中，將點(diǎn)到面的距離轉(zhuǎn)化為面面間的距離，是中檔題．