Question

11．過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)作直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若|AB|=8，則線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3．

Answer 1

分析 由拋物線y²=4x，可得焦點(diǎn)F（1，0），若AB⊥x軸，則|AB|=2p=4，不符合條件，舍去．設(shè)直線l的方程為：my=（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與拋物線方程聯(lián)立可得：y²-4my-4=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系及其弦長公式：|AB|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$，解得m．再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出．

解答 解：由拋物線y²=4x，可得焦點(diǎn)F（1，0），
若AB⊥x軸，則|AB|=2p=4，不符合條件，舍去．
設(shè)直線l的方程為：my=（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，
化為y²-4my-4=0，
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4．
∴|AB|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=$\sqrt{（1+{m}^{2}）（16{m}^{2}+16）}$=8，
化為m²=1，
解得m=±1，
當(dāng)m=1時(shí)，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化為x²-6x+1=0，
∴x₁+x₂=6，因此$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=3．
同理可得：m=-1時(shí)，$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=3．
∴線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3．
故答案為：3．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．