Question

19．已知函數(shù)f（x）定義域?yàn)椋?，+∞），且滿足f（x）＞0，xf′（x）-f（x）＜0，則對任意正數(shù)a，b，當(dāng)a＞b時(shí)，下列不等式一定成立的是（　�。�

• A． af（b）＜bf（a）
• B． bf（a）＜af（b）
• C． af（a）＜bf（b）
• D． bf（b）＜af（a）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)F（x）=$\frac{f（x）}{x}$，求導(dǎo)，利用已知，判斷其單調(diào)性，利用單調(diào)性判斷a，b的函數(shù)值大小，得到答案．

解答 解：令F（x）=$\frac{f（x）}{x}$，
F'（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$[xf′（x）-f（x）]，
∵xf′（x）-f（x）＜0 所以 F'（x）＜0 即F（x）是減函數(shù)，即當(dāng)a＞b＞0時(shí)，F(xiàn)（a）＜F（b）所以$\frac{f（a）}{a}＜\frac{f（b）}$，從而af（b）＞bf（a）；
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)的合理運(yùn)用