Question

6．在如圖所示的幾何體中，已知△BCD是等腰直角三角形且BD=CD，AB=BC=AC=2，AE=1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC．
（1）證明：AE∥平面BCD；
（2）證明：平面BDE⊥平面CDE．

Answer 1

分析 （1）取BC的中點(diǎn)M，連接DM、AM，由等腰三角形三線合一，可得DM⊥BC，進(jìn)而由平面BCD⊥平面ABC，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理可得DM⊥平面ABC，再由AE⊥平面ABC，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理，可得AE∥DM，進(jìn)而由線面平行的判定定理得到AE∥平面BCD；
（2）由（1）知AE∥DM，AE=DM，可由平行四邊形的性質(zhì)得DE∥AM，再由（1）得DM⊥AM，結(jié)合線面垂直的判定定理可得AM⊥平面BCD，即DE⊥平面BCD，進(jìn)而DE⊥CD，再由BD⊥CD結(jié)合線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理得到平面BDE⊥平面CDE；

解答 證明：（1）取BC的中點(diǎn)M，連接DM、AM，由已知BD=CD，可得：DM⊥BC，
又因?yàn)槠矫鍮CD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC=BC，
所以DM⊥平面ABC，
因?yàn)锳E⊥平面ABC，所以AE∥DM，
又因?yàn)锳E?平面BCD，DM?平面BCD，
所以AE∥平面BCD．（4分）
（2）由（1）知AE∥DM，又AE=1，CM=1，
所以四邊形DMAE是平行四邊形，則有DE∥AM，
由（1）得DM⊥AM，又AM⊥BC，
所以AM⊥平面BCD，所以DE⊥平面BCD，
又CD?平面BCD，所以DE⊥CD，
由已知BD⊥CD，DE∩BD=D，
所以CD⊥平面BDE，
因?yàn)镃D?平面CDE，
所以平面BDE⊥平面CDE．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面平行的判定，平面與平面垂直的判定，是空間線面關(guān)系的基本應(yīng)用．