Question

5．如圖，圓柱底面直徑為10，母線BB₁=6，矩形ABCD內(nèi)接于圓柱的下底面，BC=6，求直線DB₁與BC所成角的大�。�（結(jié)果用反三角函教值表示）

Answer 1

分析 以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC，BA，BB₁方向分別為x，y，z軸正方向，建立空間坐標(biāo)系，分別求出直線DB₁與BC的方向向量，代入向量夾角公式，可得答案．

解答 解：∵圓柱底面直徑為10，即BD=10，BC=6，故AB=$\sqrt{{10}^{2}-{6}^{2}}$=8，
以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC，BA，BB₁方向分別為x，y，z軸正方向，建立空間坐標(biāo)系，
由母線BB₁=6，可得：B（0，0，0），C（6，0，0），D（6，8，0），B₁（0，0，6），
∴$\overrightarrow{{DB}_{1}}$=（-6，-8，6），$\overrightarrow{BC}$=（6，0，0），
設(shè)直線DB₁與BC所成角的大小為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{DB}_{1}}•\overrightarrow{BC}|}{\left|\overrightarrow{{DB}_{1}}\right|•\left|\overrightarrow{BC}\right|}$=$\frac{36}{24\sqrt{34}}$=$\frac{3\sqrt{34}}{68}$，
故直線DB₁與BC所成角的大小為arccos$\frac{3\sqrt{34}}{68}$

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是異面直線所成的角，建立空間坐標(biāo)系，將異面直線夾角轉(zhuǎn)化為向量夾角，是解答的關(guān)鍵．