Question

20．已知函數(shù)f（x）=（sinx+$\sqrt{3}$cox）²-2．
（1）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)g（x）=-（1+λ）f²（x）-2f（x）+1在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]上單調(diào)遞減，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，結(jié)合范圍x∈[0，$\frac{π}{2}$]，即可得解．
（2）由（1）可知：f（x）在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]上單調(diào)遞增，令t=f（x），則g（t）=-（1+λ）t²-2t+1在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]單調(diào)遞減，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)分類討論，從而解出實數(shù)λ的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=（sinx+$\sqrt{3}$cox）²-2
=sin²x+3cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-2
=$\frac{1-cos2x}{2}$+3×$\frac{1+cos2x}{2}$+$\sqrt{3}$sin2x-2
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z，
∴當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[0，$\frac{π}{6}$]．
（2）由（1）可知：f（x）在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]上單調(diào)遞增，令t=f（x），則g（t）=-（1+λ）t²-2t+1在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]單調(diào)遞減，
①當(dāng)λ=-1時，g（t）=-2t+1滿足；
②當(dāng)-（1+λ）＞0時，即λ＜-1時，$\frac{-1}{1+λ}≥\frac{π}{6}$，可解得λ≥$-\frac{6}{π}-1$，
所以可得：-1＞λ≥$-\frac{6}{π}-1$，
③當(dāng)-（1+λ）＜0時，即λ＞-1時，$\frac{-1}{1+λ}$≤-$\frac{π}{3}$，解得λ≤-1+$\frac{3}{π}$，
所以可得：-1＜λ≤-1+$\frac{3}{π}$，
綜上可得：$-\frac{6}{π}-1$≤λ≤-1+$\frac{3}{π}$．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了分類討論思想，屬于中檔題．