Question

3．如圖所示的多面體中，已知菱形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，其中∠FAC為直角，∠ABC=60°，EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AB=1，F(xiàn)A=$\sqrt{3}$．
（1）求證：DE⊥平面BEF；
（2）求多面體ABCDEF的體積．

Answer 1

分析 （1）連接BD交AC于O點(diǎn)，連接EO，證明EF⊥ED，ED⊥BE，即可證明：DE⊥平面BEF；
（2）利用兩個四棱錐的體積求多面體ABCDEF的體積．

解答 （1）證明：連接BD交AC于O點(diǎn)，連接EO．
因?yàn)椤螦BC=60°，且四邊形ABCD為菱形，所以AC=AB=2AO．
又EF∥AC，$EF=\frac{1}{2}AB=1$，∠FAC為直角，所以四邊形AOEF為矩形，則EO⊥AC，
由四邊形ABCD為菱形得BD⊥AC，
又EO∩CO=O，所以AC⊥平面ODE，
而ED?平面ODE，則AC⊥ED，
又EF∥AC，所以EF⊥ED，
因?yàn)?BO=AF=EO=OD=\sqrt{3}$，故∠BEO=∠DEO=45°，則∠BED=90°，即ED⊥BE，
又EF∩BE=E，所以DE⊥平面BEF．
（2）解：由（1）知，BD⊥平面ACEF，
所以${V_{ABCDEF}}={V_{B-ACEF}}+{V_{D-ACEF}}=2×\frac{1}{3}×[\frac{1}{2}（1+2）×\sqrt{3}]×\sqrt{3}=3$．

點(diǎn)評 本題考查線面垂直并求多面體的體積．考查了空間幾何體的線、面位置關(guān)系用相關(guān)量的運(yùn)算，屬于中檔題．