Question

9．已知函數(shù)f（x）=（x-1）e^x，g（x）=lnx，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）求函數(shù)h（x）=f（x）+e|g（x）-a|（a為常數(shù)）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（2）函數(shù)h（x）=g（x）+e|f（x）-a|=（x-）e^x+e|lnx-a|（a為常數(shù)），求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求得單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）∵f（x）=（x-1）e^x，
∴f′（x）=e^x+（x-1）e^x=xe^x，
令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，
∴f（x）在（-∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增；
（2）∵函數(shù)h（x）=f（x）+e|g（x）-a|=（x-）e^x+e|lnx-a|（a為常數(shù)），
∴函數(shù)h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-1{）e}^{x}+e（lnx-a），（x{≥e}^{a}）}\\{（x-1{）e}^{x}+e（a-lnx），（x{＜e}^{a}）}\end{array}\right.$，…（9分）
①當(dāng)x≥e^a時，h′（x）=xe^x+$\frac{e}{x}$＞0恒成立，
則函數(shù)h（x）在[e^a，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，…（10分）
②當(dāng)0＜x＜e^a時，h′（x）=xe^x-$\frac{e}{x}$，
又∵[h′（x）]′=（xe^x-$\frac{e}{x}$）′=（x+1）e^x+$\frac{e}{{x}^{2}}$＞0恒成立，
∴函數(shù)h′（x）=xe^x-$\frac{e}{x}$在（0，e^a）上為單調(diào)遞增函數(shù)，
又∵h(yuǎn)′（1）=0，
∴函數(shù)h′（x）在（0，1）上恒小于0，在（1，e^a）上恒大于0…（12分），
1⁰、當(dāng)a≤0時，e^a≤1，則此時h′（x）在（0，e^a）上恒小于0
即函數(shù)r（x）在（0，e^a）上為單調(diào)遞減函數(shù)，…（13分），
2⁰、當(dāng)a＞0時，e^a＞1，則此時h′（x）在（0，1）上恒小于0，在（1，e^a）上恒大于0，
即函數(shù)r（x）在（0，1）上為單調(diào)遞減函數(shù)，在（1，e^a）上為單調(diào)遞增函數(shù)，…（15分）
綜上可知：當(dāng)a≤0時，函數(shù)r（x）遞減區(qū)間為（0，e^a），遞增區(qū)間為[e^a，+∞），
當(dāng)a＞0時，函數(shù)r（x）遞減區(qū)間為（0，1），遞增區(qū)間為[1，+∞），…（16分）

點評 本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)極值、單調(diào)區(qū)間的應(yīng)用，屬于中檔題型．