Question

12．已知在A-BCD的四面體中，AB⊥平面BCD，AD=3，CD=$\sqrt{2}$CB，則四面體A-BCD的最大體積為$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 設(shè)BD=2m，求出AB=$\sqrt{9-4{m}^{2}}$，BD邊上的高的最大值為2$\sqrt{2}$m，可得體積，利用基本不等式，即可求出四面體A-BCD的最大體積．

解答 解：根據(jù)題意，設(shè)BD=2m，所以在Rt△ABD中，AB=$\sqrt{9-4{m}^{2}}$（AB為四面體A-BCD的高），
因?yàn)镃D=$\sqrt{2}$CB，以BD所在直線為x軸，以其中垂心為y軸，設(shè)C（x，y），由CD=$\sqrt{2}$CB得C的軌跡為圓．
所以在底面△BCD中，BD邊上的高的最大值為2$\sqrt{2}$m，
所以底面△BCD面積的最大值為S=2$\sqrt{2}$m²，
所以四面體A-BCD的最大體積為V_A-BCD=$\frac{1}{3}$S•h=$\frac{1}{3}$•2$\sqrt{2}$m²•$\sqrt{9-4{m}^{2}}$
=$\frac{\sqrt{2}}{3}$×（$\sqrt{2}$m•$\sqrt{2}$m•$\sqrt{9-4{m}^{2}}$）=$\frac{\sqrt{2}}{3}$•$\sqrt{2{m}^{2}•2{m}^{2}•（9-4{m}^{2}）}$
≤$\frac{\sqrt{2}}{3}$•$\sqrt{（\frac{2{m}^{2}+2{m}^{2}+9-4{m}^{2}}{3}）^{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$•3$\sqrt{3}$=$\sqrt{6}$（基本不等式求最值）．
即四面體A-BCD體積的最大值為$\sqrt{6}$．
故答案為：$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評 本題考查四面體A-BCD的最大體積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定BD邊上的高的最大值是關(guān)鍵．