Question

3．每天的P值是空氣質(zhì)量的重要指標(biāo)，空氣質(zhì)量級別與P值范圍對應(yīng)關(guān)系如表所示，為了了解某市2014年的空氣質(zhì)量，隨機(jī)抽取了該市2014年10天的P值數(shù)據(jù)，繪制成莖葉圖如圖所示．
（1）試估計(jì)該市2014年P(guān)值的日平均值；
（2）把頻率視作概率，求該市的后續(xù)3天時(shí)間里至少有1天空氣質(zhì)量超標(biāo)的概率；
（3）從這10天的P值數(shù)據(jù)中任取3天的數(shù)據(jù)，將其中空氣質(zhì)量達(dá)到一級的天數(shù)記為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

PM2.5日均值（微克/立方米）范圍	空氣質(zhì)量級別
（1，35]	1級
（35，75]	2級
大于75	超標(biāo)

Answer 1

分析 （1）利用平均數(shù)的計(jì)算方法，即可估計(jì)該市2014年P(guān)值的日平均值；
（2）把頻率視作概率，求出未超標(biāo)的概率，即可求該市的后續(xù)3天時(shí)間里至少有1天空氣質(zhì)量超標(biāo)的概率；
（3）確定ξ的可能取值，求得相應(yīng)的概率，即可求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）估計(jì)該市2014年P(guān)值的日平均值為$\frac{1}{10}$（25+30+30+35+44+46+48+52+62+78）=45；
（2）由題意，1天空氣質(zhì)量超標(biāo)的概率為p=$\frac{1}{10}$，未超標(biāo)的概率為$\frac{9}{10}$，
由于空氣質(zhì)量是否超標(biāo)相互獨(dú)立，所以該市的后續(xù)3天時(shí)間里至少有1天空氣質(zhì)量超標(biāo)的概率為1-$（\frac{9}{10}）^{3}$=0.271；
（3）ξ的可能取值為3，2，1，0，這10天的P值數(shù)據(jù)中空氣質(zhì)量達(dá)到一級的天數(shù)共有4天，
所以P（ξ=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{30}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{6}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{2}$，P（ξ=0）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{6}$，
∴ξ的分布列如下：

ξ	3	2	1	0
P	$\frac{1}{30}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$

∴Eξ=3×$\frac{1}{30}$+2×$\frac{3}{10}$+1×$\frac{1}{2}$+0×$\frac{1}{6}$=$\frac{6}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查等可能事件概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，屬于中檔題．