Question

16．如圖，在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是棱AD，BC上的點(diǎn)，且$\frac{AE}{ED}$=$\frac{BF}{FC}$=$\frac{1}{2}$，已知AB=CD=3，EF=$\sqrt{5}$，求異面直線(xiàn)AB和CD所成的角．

Answer 1

分析 在BD上取靠近B的三等分點(diǎn)G，連接FG、GE，可證∠EGF或其補(bǔ)角就是異面直線(xiàn)AB和CD所成角，在△EFG中由勾股定理的逆定理可得∠EGF=90°，可得答案．

解答 解：（如圖）在BD上取靠近B的三等分點(diǎn)G，連接FG、GE，
在△BCD中，可得$\frac{BG}{GD}$=$\frac{BF}{FG}$，故有FG∥DC，
同理在△ABD中，可得GE∥AB，
所以∠EGF或其補(bǔ)角就是異面直線(xiàn)AB和CD所成角，
在△BCD中，由GE∥CD，CD=3，$\frac{FG}{CD}$=$\frac{1}{3}$，得FG=1，
在△ABD中，由EG∥AB，AB=3，$\frac{EG}{AB}$=$\frac{2}{3}$，得EG=2，
在△EFG中，由EG=2，F(xiàn)G=1，EF=$\sqrt{5}$，則EG²+FG²=EF²，
由勾股定理的逆定理，可得∠EGF=90°，
所以異面直線(xiàn)AB和CD所成角為90°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線(xiàn)所成的角的求法，涉及勾股定理的逆定理的應(yīng)用，屬中檔題．