Question

10．已知 F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線 $\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左，右焦點，點p在雙曲線的右支上，且$\overrightarrow{{F_1}P}•（{\overrightarrow{O{F_1}}+\overrightarrow{OP}}）=0$（O為坐標原點），若$|{\overrightarrow{{F_1}P}}|=\sqrt{2}|{\overrightarrow{{F_2}P}}$|，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{6}$+$\sqrt{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 利用$\overrightarrow{{F_1}P}•（{\overrightarrow{O{F_1}}+\overrightarrow{OP}}）=0$，可得$\overrightarrow{P{F}_{1}}⊥\overrightarrow{P{F}_{2}}$，設$|\overrightarrow{{F}_{2}P}|$=x，則$|\overrightarrow{{F}_{1}P}|$=$\sqrt{2}x$，利用勾股定理，求出x=$\frac{2}{\sqrt{3}}$c，由雙曲線的定義可得$\sqrt{2}$x-x=2a，代入即可得出結(jié)論．

解答 解：∵$\overrightarrow{{F_1}P}•（{\overrightarrow{O{F_1}}+\overrightarrow{OP}}）=0$（O為坐標原點），
∴$|\overrightarrow{O{F}_{1}}|=|\overrightarrow{OP}|$，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}⊥\overrightarrow{P{F}_{2}}$，
設$|\overrightarrow{{F}_{2}P}|$=x，則$|\overrightarrow{{F}_{1}P}|$=$\sqrt{2}x$，
∴x²+2x²=4c²，
∴x=$\frac{2}{\sqrt{3}}$c，
由雙曲線的定義可得$\sqrt{2}$x-x=2a，
∴（$\sqrt{2}$-1）•$\frac{2}{\sqrt{3}}$c=2a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{6}$+$\sqrt{3}$．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的定義與性質(zhì)，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．