Question

15．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到直線l₁：x=-2的距離與到點(diǎn)F（-1，0）的距離之比為 $\sqrt{2}$．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡Γ；
（2）直線l與曲線Γ交于不同的兩點(diǎn)A，B（A，B在x軸的上方）∠OFA+∠OFB=180°：
①當(dāng)A為橢圓與y軸的正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求直線l的方程；
②對(duì)于動(dòng)直線l，是否存在一個(gè)定點(diǎn)，無論∠OFA如何變化，直線l總經(jīng)過此定點(diǎn)？若存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用點(diǎn)到直線距離公式，整理即可求得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡Γ；
（2）①將直線BF：y=-x-1，代入橢圓方程，即可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，利用直線的斜率公式即可求得直線l的方程；
②直線AB方程：y=kx+b，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理，及∠OFA+∠OFB=180°，則k_AF+k_BF=0，即可求得b-2k=0，代入直線方程，即可求得直線l總經(jīng)過點(diǎn)M（-2，0）；
方法二：設(shè)直線AF方程：y=k（x+1），代入橢圓方程利用點(diǎn)斜式方程求得x=$\frac{{x}_{2}{y}_{1}-{x}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}-{y}_{2}}$=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}+2}$，利用韋達(dá)定理即可求得x=2，即可求得直線l總經(jīng)過點(diǎn)M（-2，0）．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y），則$\frac{丨x+2丨}{\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
整理得：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡Γ$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）①A（0，1），F(xiàn)（-1，0），則k_AF=1，k_BF=-1，直線BF：y=-x-1，
$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：3x²+4x=0，解得：x=0，x=-$\frac{4}{3}$，
代入y=-x-1，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$（舍），$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{4}{3}}\\{y=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，則B（-$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$），
k_AB=$\frac{1-\frac{1}{3}}{0-（-\frac{4}{3}）}$=$\frac{1}{2}$，
直線AB：y=$\frac{1}{2}$x+1，
②設(shè)方法一：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB方程：y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，（k²+$\frac{1}{2}$）x²+2kbx+b²-1=0，
由韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=-$\frac{2kb}{{k}^{2}+\frac{1}{2}}$，x₁x₂=$\frac{^{2}-1}{{k}^{2}+\frac{1}{2}}$，
由∠OFA+∠OFB=180°，則k_AF+k_BF=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}$=$\frac{k{x}_{1}+b}{{x}_{1}+1}$+$\frac{k{x}_{2}+b}{{x}_{2}+1}$=$\frac{（k{x}_{1}+b）（{x}_{2}+1）+（k{x}_{2}+b）（{x}_{1}+1）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$=0，
則2kx₁x₂+（k+b）（x₁+x₂）+2b=2k×$\frac{^{2}-1}{{k}^{2}+\frac{1}{2}}$-（k+b）×$\frac{2kb}{{k}^{2}+\frac{1}{2}}$+2b=0，
則b-2k=0，
∴直線AB方程：y=k（x+2），直線l總經(jīng)過點(diǎn)M（-2，0）．

解法二：由于OFA+∠OFB=180°，則B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B₁在直線AF上，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），B₁（x₂，-y₂）
設(shè)直線AF方程：y=k（x+1），
代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；得：
（k²+$\frac{1}{2}$）x²+2kx+k²-1=0，
由韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=-$\frac{2{k}^{2}}{{k}^{2}+\frac{1}{2}}$，x₁x₂=$\frac{{k}^{2}-1}{{k}^{2}+\frac{1}{2}}$，
則k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，AB的方程為：y-y₁=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$（x-x₁），令y=0，得：x=x₁-y₁×$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{2}{y}_{1}-{x}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}-{y}_{2}}$，
y₁=k（x₁+1），-y₂=k（x₂+1），
x=$\frac{{x}_{2}{y}_{1}-{x}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}-{y}_{2}}$=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}+2}$=2，
∴直線l總經(jīng)過定點(diǎn)M（-2，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，直線的斜率公式，點(diǎn)斜式方程，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．