Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x+a

1-x

(a∈R)．
（1）若a=1，求f（x）的值域；
（2）若不等式f（x）≤2對(duì)x∈[-8，-3]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,函數(shù)的值域

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）若a=1，利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)形式，即可求f（x）的值域；
（2）利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最值即可求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）a=1時(shí)，f（x）=x+

1-x

，（x≤1），
令t=

1-x

，則t≥0，
則x=1-t²，
∴y=1-t²+t=-（t-

1

2

）²+

5

4

，
∵t≥0，
∴y≤

5

4

，
函數(shù)f（x）的值域是（-∞，

5

4

]．
（2）令t=

1-x

，x∈[-8，-3]，則x=1-t²，2≤t≤3，
則y=1-t²+at，
若不等式f（x）≤2對(duì)x∈[-8，-3]恒成立，
則等價(jià)為1-t²+at≤2對(duì)t∈[2，3]恒成立，
即a≤t+

1

t

對(duì)t∈[2，3]恒成立，
令g（t）=t+

1

t

，t∈[2，3]，
 則函數(shù)g（t）在[2，3]上是一個(gè)增函數(shù)，
∴g（t）的最小值為g（2）=

5

2

，
∴a≤

5

2

，
即a的取值范圍為（-∞，

5

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的最值的應(yīng)用，利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．