【題目】(12分)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知cosC+(cosA﹣sinA)cosB=0.
(1)求角B的大小; (2)若a+c=1,求b的取值范圍.
【答案】(1) ;(2)
≤b<1.
【解析】試題分析:(1)將cosC,化為 (A+B),代入cosC+(cosA﹣
sinA)cosB=0.整理后,即可求出角B.
(2)在△ABC,由余弦定理將b2轉化為a、c的函數(shù)關系,最終轉化為求函數(shù)值域問題.
試題解析:
(1)由已知得:﹣cos(A+B)+cosAcosB﹣sinAcosB=0,
即sinAsinB﹣sinAcosB=0,∵sinA≠0,∴sinB﹣
cosB=0,即tanB=
,
又B為三角形的內角,則B=;
(2)∵a+c=1,即c=1﹣a,cosB=,
∴由余弦定理得:b2=a2+c2﹣2accosB,即b2=a2+c2﹣ac=(a+c)2﹣3ac=1﹣3a(1﹣a)=3(a﹣)2+
,
∵0<a<1,∴≤b2<1,則
≤b<1.
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【題目】(本小題共l2分)
如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,延長A1C1至點P,使C1P=A1C1,連接AP交棱CC1于D.
(Ⅰ)求證:PB1∥平面BDA1;
(Ⅱ)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;
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【題目】在一次公里的自行車個人賽中,25名參賽選手的成績(單位:分鐘)的莖葉圖如圖所示:
(1)現(xiàn)將參賽選手按成績由好到差編為1~25號,再用系統(tǒng)抽樣方法從中選取5人,已知選手甲的成績?yōu)?5分鐘,若甲被選取,求被選取的其余4名選手的成績的平均數(shù);
(2)若從總體中選取一個樣本,使得該樣本的平均水平與總體相同,且樣本的方差不大于7,則稱選取的樣本具有集中代表性,試從總體(25名參賽選手的成績)選取一個具有集中代表性且樣本容量為5的樣本,并求該樣本的方差.
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【題目】已知△ABC的三個內角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且b2+c2=a2+bc,求:
(1)2sinBcosC﹣sin(B﹣C)的值;
(2)若a=2,求△ABC周長的最大值.
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【題目】(12分)在數(shù)列中,對于任意
,等式
成立,其中常數(shù).
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;
(Ⅲ)如果關于n的不等式的解集為
,求b和c的取值范圍.
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【題目】設直線l的方程為(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
(Ⅰ)若直線l不經(jīng)過第二象限,求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)若直線l與兩坐標軸圍成的三角形面積等于2,求實數(shù)a的值.
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【題目】設定義在區(qū)間上的函數(shù)
的圖象為
,
、
,且
為圖象
上的任意一點,
為坐標原點,當實數(shù)
滿足
時,記向量
,若
恒成立,則稱函數(shù)
在區(qū)間
上可在標準
下線性近似,其中
是一個確定的正數(shù).
(1)設函數(shù)在區(qū)間
上可在標準
下線性近似,求
的取值范圍;
(2)已知函數(shù)的反函數(shù)為
,函數(shù)
,(
),點
、
,記直線
的斜率為
,若
,問:是否存在
,使
成立?若存在,求
的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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【題目】在邊長為4的正方形的邊上有一點
沿著折線
由點
(起點)向點
(終點)運動。設點
運動的路程為
,
的面積為
,且
與
之間的函數(shù)關系式用如圖所示的程序框圖給出.
(1)寫出框圖中①、②、③處應填充的式子;
(2)若輸出的面積值為6,則路程
的值為多少?并指出此時點
在正方形的什么位置上?
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