【題目】(12分)在數(shù)列中,對于任意,等式
成立,其中常數(shù).
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;
(Ⅲ)如果關(guān)于n的不等式的解集為
,求b和c的取值范圍.
【答案】(1), ;(2)證明見解析;(3), .
【解析】試題分析:(1)分別取n=1,n=2代入,即可得;(2)要證明數(shù)列為等比數(shù)列,先求出,為此由已知寫出,兩式相減,即可求出,再用等比數(shù)列的定義證明數(shù)列為等比數(shù)列.(3)先求出的和,不等式轉(zhuǎn)化為,再對b進行分類討論,進一步轉(zhuǎn)化為或,再由不等式的解集確定出求b和c的取值范圍.
試題解析:
(Ⅰ)解:因為,
所以, ,
解得 , .
(Ⅱ)證明:當(dāng)時,由, ①
得, ②
將①,②兩式相減,得 ,
化簡,得,其中.
因為,
所以 ,其中.
因為 為常數(shù),
所以數(shù)列為等比數(shù)列.
(Ⅲ)解:由(Ⅱ),得,
所以, 11分
又因為,
所以不等式 化簡為,
當(dāng)時,考察不等式的解,
由題意,知不等式的解集為,
因為函數(shù)在R上單調(diào)遞增,
所以只要求 且即可,
解得;
當(dāng)時,考察不等式的解,
由題意,要求不等式的解集為,
因為,
所以如果時不等式成立,那么時不等式也成立,
這與題意不符,舍去.
所以, .
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【題目】已知五邊形是由直角梯形和等腰直角三角形構(gòu)成,如圖所示, , , ,且,將五邊形沿著折起,且使平面平面.
(Ⅰ)若為中點,邊上是否存在一點,使得平面?若存在,求的值;若不存在,說明理由;
(Ⅱ)求二面角的平面角的余弦值.
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【題目】已知點,點在軸上,動點滿足,且直線與軸交于點, 是線段的中點.
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)若點是曲線的焦點,過的兩條直線, 關(guān)于軸對稱,且交曲線于、兩點, 交曲線于、兩點, 、在第一象限,若四邊形的面積等于,求直線, 的方程.
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【題目】已知直線L:kx-y+1+2k=0.
(1)求證:直線L過定點;
(2)若直線L交x軸負半軸于點A,交y正半軸于點B,△AOB的面積為S,試求S的最小值并求出此時直線L的方程.
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【題目】(12分)若數(shù)列{an}是的遞增等差數(shù)列,其中的a3=5,且a1,a2,a5成等比數(shù)列,
(1)求{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn= ,求數(shù)列{bn}的前項的和Tn.
(3)是否存在自然數(shù)m,使得 <Tn<對一切n∈N*恒成立?若存在,求出m的值;
若不存在,說明理由.
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【題目】(12分)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知cosC+(cosA﹣sinA)cosB=0.
(1)求角B的大; (2)若a+c=1,求b的取值范圍.
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【題目】現(xiàn)在很多人喜歡自助游,2017年孝感楊店桃花節(jié),美麗的桃花風(fēng)景和人文景觀迎來眾多賓客.某調(diào)查機構(gòu)為了了解“自助游”是否與性別有關(guān),在孝感桃花節(jié)期間,隨機抽取了人,得如下所示的列聯(lián)表:
贊成“自助游” | 不贊成“自助游” | 合計 | |
男性 | |||
女性 | |||
合計 |
(1)若在這人中,按性別分層抽取一個容量為的樣本,女性應(yīng)抽人,請將上面的列聯(lián)表補充完整,并據(jù)此資料能否在犯錯誤的概率不超過前提下,認為贊成“自助游”是與性別有關(guān)系?
(2)若以抽取樣本的頻率為概率,從旅游節(jié)大量游客中隨機抽取人贈送精美紀念品,記這人中贊成“自助游”人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附:
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【題目】已知焦點在軸上的橢圓的中心是原點,離心率為雙曲線離心率的一半,直線被橢圓截得的線段長為.直線: 與軸交于點,與橢圓交于兩個相異點,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在實數(shù),使?若存在,求的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓短軸端點和兩個焦點的連線構(gòu)成正方形,且該正方形的內(nèi)切圓方程為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若拋物線的焦點與橢圓的一個焦點重合,直線與拋物線交于兩點,且,求的面積的最大值.
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