Question

10．已知數(shù)列{a_n}和{b_n}中，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若點(diǎn)（n，S_n）在函數(shù)y=-x²的圖象上，點(diǎn)（n，b_n）在函數(shù)y=2^x的圖象上
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（2）求數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)（n，S_n）在函數(shù)y=-x²的圖象上，可得${S}_{n}=-{n}^{2}$．利用遞推式可得當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1．當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁，即可得出．
（2）由點(diǎn)（n，b_n）在函數(shù)y=2^x的圖象上，可得b_n=2ⁿ．a(chǎn)_nb_n=（1-2n）•2ⁿ．利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）∵點(diǎn)（n，S_n）在函數(shù)y=-x²的圖象上，∴${S}_{n}=-{n}^{2}$．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=-n²+（n-1）²=1-2n．當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=-1，符合上式．
∴a_n=-2n+1．
（2）∵點(diǎn)（n，b_n）在函數(shù)y=2^x的圖象上，∴b_n=2ⁿ．
∴a_nb_n=（1-2n）•2ⁿ．
∴T_n=-1×2¹-3×2²-5×2³-…-（2n-1）-2ⁿ，
∴2T_n=-1×2²-3×2³-…-（2n-3）×2ⁿ-（2n-1）×2ⁿ⁺¹．
∴T_n=2+2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ+（1-2n）×2ⁿ⁺¹=（3-2n）×2ⁿ⁺¹-6，

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”、遞推式的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．