Question

14．已知點(diǎn)B是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，直線BF₁，BF₂與橢圓分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，△BEF為等邊三角形．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）已知點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}$）在橢圓C上，且直線l：y=kx+m與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，若直線F₁M，F(xiàn)₂N的傾斜角分別為α，β，且α+β=$\frac{π}{2}$，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)三角形為等邊三角形，列式求解離心率．
（Ⅱ）先求得橢圓方程，直線l：y=kx+m與橢圓C聯(lián)立，得所以（k²-1）x₁x₂+（mk+1）（x₁+x₂）+m²-1=0，依條件求解．

解答 解：（Ⅰ）B（0，b）F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）．
又△BEF為等邊三角形，所以，△BF₁F₂為等邊三角形．
∴2c=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$，①又a²=b²+c²②
由①②解得$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$
橢圓C的離心率$e=\frac{1}{2}$．…（3分）
（Ⅱ）由題意橢圓方程為3x²+4y²=3a²，由于點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}$）在橢圓C上，
因此a²=4，b²=3，因此橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．…（4分）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，消去y，得（3+4k²）x²+8mkx+4m²-12=0．設(shè)M（x₁，y₁）．N（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，由$α+β=\frac{π}{2}$，得sinα=cosβ，cosα=sinβ，…（7分）
因此tanαtanβ=1，即${k}_{M{F}_{1}}{k}_{M{F}_{2}}=1$，因此（kx₁+m）（kx₂+m）=（x₁-1）（x₂-1），
所以（k²-1）x₁x₂+（mk+1）（x₁+x₂）+m²-1=0，…（9分）
因此$（{k}^{2}-1）\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}+（mk+\sqrt{3}）（\frac{-8mk}{3+4{k}^{2}}）$+m²-1=0，整理，得
m²+8mk+16k²-9=0，即（m+4k）²=3，m=-4k±3．…（11分）
于是直線方程為y=k（x-4）±3，因此直線過(guò)定點(diǎn)（4，3）或（4，-3）．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了橢圓離心率的求法和直線和圓錐曲線的綜合應(yīng)用，屬于中檔題，高考經(jīng)常涉及．