Question

4．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=ax²-bx（a、b為常數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）當(dāng)函數(shù)g（x）在x=2處取得極值-2．求函數(shù)g（x）的解析式；
（3）當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時，設(shè)h（x）=f（x）+g（x），若函數(shù)h（x）在定義域上存在單調(diào)減區(qū)間，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點，運用店攜手方程即可得到切線方程；
（2）求得g（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得g（2）=-2，g′（2）=0，解方程即可得到所求解析式；
（3）若函數(shù)h（x）在定義域上存在單調(diào)減區(qū)間依題存在x＞0使h′（x）=$\frac{{x}^{2}-bx+1}{x}$（x＞0）．h′（x）＜0（x＞0）即存在x＞0使x²-bx+1＜0，運用參數(shù)分離，求得右邊的最小值，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）由f（x）=lnx（x＞0），可得f′（x）=$\frac{1}{x}$（x＞0），
∴f（x）在點（1，f（1））處的切線方程是y-f（1）=f′（1）（x-1），
即y=x-1，
所求切線方程為y=x-1；                                
（2）∵又g（x）=ax²-bx可得g′（x）=2ax-b，
且g（x）在x=2處取得極值-2．
∴$\left\{\begin{array}{l}{g^/}（2）=0\\ g（2）=-2\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}4a-b=0\\ 4a-2b=-2\end{array}\right.$解得$a=\frac{1}{2}$，b=2．
所求g（x）=$\frac{1}{2}{x^2}-2x$（x∈R）．                                 
（3）∵$h（x）=f（x）+g（x）=lnx+\frac{1}{2}{x^2}-bx$，h′（x）=$\frac{{x}^{2}-bx+1}{x}$（x＞0）．
依題存在x＞0使h′（x）=$\frac{{x}^{2}-bx+1}{x}$（x＞0）．
h′（x）＜0（x＞0）即存在x＞0使x²-bx+1＜0，
∵不等式x²-bx+1＜0等價于$b＞x+\frac{1}{x}$（*）
令$λ（x）=x+\frac{1}{x}（x＞0）$，∵${λ^/}（x）=1-\frac{1}{x^2}=\frac{（x+1）（x-1）}{x^2}（x＞0）$．
∴λ（x）在（0，1）上遞減，在[1，+∞）上遞增，
故$λ（x）=x+\frac{1}{x}∈[2$，+∞），
∵存在x＞0，不等式（*）成立，
∴b＞2．所求b∈（2，+∞）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，同時考查函數(shù)的單調(diào)性的運用以及存在性問題，屬于中檔題．