Question

9．如圖，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{1}{2}$，右焦點為F，右頂點為A，P為直線x=$\frac{5}{4}$a上的任意一點，且（$\overrightarrow{PF}$+$\overrightarrow{PA}$）•$\overrightarrow{AF}$=2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過點P所作橢圓C的切線l與坐標(biāo)軸不平行，切點為Q，且交y軸于點T，試確定x軸上是否存在定點M，使得sin∠OTQ=2|cos∠TQM|．若存在，請求出點M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 設(shè)P（$\frac{5}{4}$a，m），根據(jù)（$\overrightarrow{PF}$+$\overrightarrow{PA}$）•$\overrightarrow{AF}$=2，得（2c-3a）（c-a）=4，從而求出a，c，再求出b，進(jìn)而求出橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)切點Q，得到切線方程，與橢圓方程聯(lián)立，由判別式△=0，求出k的表達(dá)式，表示出sin∠OTQ=2|cos∠TQM|，從而求出m的值，得出答案．

解答 解：（Ⅰ） 由題意，知右頂點A（a，0），設(shè)P（$\frac{5}{4}$a，m），右焦點F（c，0），則a=2c，
由（$\overrightarrow{PF}$+$\overrightarrow{PA}$）•$\overrightarrow{AF}$=2，得（2c-3a）（c-a）=4，
解得a=2，c=1，所以b²=a²-c²=3，
所以橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（Ⅱ）設(shè)切點Q（x₀，y₀），x₀ y₀≠0，切線方程為y-y₀=k（x-x₀），與橢圓方程聯(lián)立，
得：（3+4k²）x²+8k（y₀-kx₀）x+4（y₀-kx₀）²-12=0有相等實根，
∴△=${[8k{（y}_{0}-{kx}_{0}）]}^{2}$-4（3+4k²）[4${{（y}_{0}-{kx}_{0}）}^{2}$-12=0，
解得：k=-$\frac{{3x}_{0}}{{4y}_{0}}$，
又3${{x}_{0}}^{2}$+4${{y}_{0}}^{2}$=12，所以，切線方程為3x₀x+4y₀y-12=0，
則切線與y軸的交點T（0，$\frac{3}{{y}_{0}}$），且原點O到切線的距離d=$\frac{12}{\sqrt{{{9x}_{0}}^{2}+1{{6y}_{0}}^{2}}}$，
所以sin∠OTQ=$\frac2shiasg{|OT|}$=$\frac{4{|y}_{0}|}{\sqrt{{{9x}_{0}}^{2}+1{{6y}_{0}}^{2}}}$，
若x軸上存在定點M（m，0），使sin∠OTQ=2|cos∠TQM|，
由$\overrightarrow{QT}$=（-x₀，$\frac{3{{-y}_{0}}^{2}}{{y}_{0}}$）=（-x₀，$\frac{{{3x}_{0}}^{2}}{{4y}_{0}}$），$\overrightarrow{QM}$=（m-x₀，-y₀），
得：|cos∠TQM|=$\frac{|\overrightarrow{OT}•\overrightarrow{QM}|}{|\overrightarrow{QT}|•|\overrightarrow{QM}|}$=$\frac{|{4y}_{0}（m{-x}_{0}）+{{3x}_{0}y}_{0}|}{\sqrt{{{9x}_{0}}^{2}+1{{6y}_{0}}^{2}}•\sqrt{{（m{-x}_{0}）}^{2}{{+y}_{0}}^{2}}}$，
∴$\frac{2{|y}_{0}|}{\sqrt{{{9x}_{0}}^{2}+1{{6y}_{0}}^{2}}}$=$\frac{|{4y}_{0}（m{-x}_{0}）+{{3x}_{0}y}_{0}|}{\sqrt{{{9x}_{0}}^{2}+1{{6y}_{0}}^{2}}•\sqrt{{（m{-x}_{0}）}^{2}{{+y}_{0}}^{2}}}$，
對任意的|x₀|∈（0，2）恒成立，
化簡，得m²=1，m=±1．
所以，x軸上存在定點M（±1，0）即橢圓C的兩焦點使sin∠OTQ=2|cos∠TQM|．

點評 本題考察了橢圓的方程及性質(zhì)，考察直線和橢圓的綜合應(yīng)用，（Ⅱ）問中求出k的表達(dá)式，表示出sin∠OTQ=2|cos∠TQM|是解答本題的關(guān)鍵．