Question

7．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）和偶函數(shù)g（x）滿(mǎn)足：f（x）+g（x）=e^x，則$\frac{{2}^{n}g（1）g（2）g（{2}^{2}）…g（{2}^{n-1}）}{f（{2}^{n}）}$=$\frac{2e}{{e}^{2}+1}$．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)的解析式，再代入計(jì)算，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，-f（x）+g（x）=e^-x，
與條件聯(lián)立可得，f（x）=$\frac{1}{2}$（e^x-e^-x），g（x）=$\frac{1}{2}$（e^x+e^-x），
∴$\frac{{2}^{n}g（1）g（2）g（{2}^{2}）…g（{2}^{n-1}）}{f（{2}^{n}）}$=$\frac{（e+{e}^{-1}）（{e}^{2}+{e}^{-2}）…（{e}^{{2}^{n-1}}+{e}^{-{2}^{n-1}}）}{\frac{1}{2}（{e}^{{2}^{n}}-{e}^{-{2}^{n}}）}$=$\frac{2}{e+{e}^{-1}}$=$\frac{2e}{{e}^{2}+1}$．
故答案為：$\frac{2e}{{e}^{2}+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)解析式的求解，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．