Question

12．已知實數(shù)a，b，c滿足a+b+c=0，a²+b²+c²=1，則a的最大值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 由已知條件a+b+c=0，a²+b²+c²=1，變形后，得到bc與b+c的值，利用完全平方式將變形后的式子代入推出b、c是二次方程的兩個實數(shù)根，利用根的判別式得到有關(guān)a的不等式后確定a的取值范圍．

解答 解：∵a+b+c=0，a²+b²+c²=1，
∴b+c=-a，b²+c²=1-a²，
∴bc=$\frac{1}{2}$•（2bc）
=$\frac{1}{2}$[（b+c）²-（b²+c²）]
=a²-$\frac{1}{2}$
∴b、c是方程：x²+ax+a²-$\frac{1}{2}$=0的兩個實數(shù)根，
∴△≥0
∴a²-4（a²-$\frac{1}{2}$）≥0
即a²≤$\frac{2}{3}$
∴-$\frac{\sqrt{6}}{3}$≤a≤$\frac{\sqrt{6}}{3}$
即a的最大值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$
故選：B．

點評 本題考查了函數(shù)最值問題，函數(shù)與方程的綜合應用，解決本題的關(guān)鍵是利用根的判別式得到有關(guān)未知數(shù)的不等式，進而求得a的取值范圍．