設函數(shù)
（1）寫出定義域及f′（x）的解析式
（2）設a＞0，討論函數(shù)y=f（x）的單調性；
（3）若對任意x∈（0，1），恒有f（x）＞1成立，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】分析：（1）根據(jù)分式函數(shù)的分母不等于0可求出函數(shù)的定義域，然后根據(jù)分式函數(shù)的導數(shù)運算法則可求出f′（x）的解析式；
（2）討論a與2的大小，然后根據(jù)導數(shù)符號可得函數(shù)的單調性；
（3）討論a與0和2的大小，根據(jù)函數(shù)的單調性求出函數(shù)的最值，然后判定是否滿足對任意x∈（0，1），恒有f（x）＞1成立，從而求出a的取值范圍．
解答：解：（1）∵x-1≠0∴f（x）的定義域為（-∞，1）∪（1，+∞），
（3分）
（2）①當0＜a≤2時，f'（x）≥0，所以f（x）在（-∞，1），（1，+∞）上為增函數(shù)（4分）
②當a＞2，由f′（x）＞0得或
∴上為增函數(shù)，在上是減函數(shù)（7分）
（2）①當0＜a≤2時，由（1）知，對任意x∈（0，1），恒有f（x）＞f（0）=1（8分）
②當a＞2時，由（1）知，f（x）在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，
取，則f（x）＜f（0）=1（10分）
③當a≤0時，對任意x∈（0，1），恒有且e-ax≥1，得（11分）
綜上當且僅當a∈（-∞，2]時，若對任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1成立．     （12分）
點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，以及函數(shù)的定義域及其導函數(shù)的求法，同時考查了分類討論的數(shù)學思想和計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設a∈R，f（x）為奇函數(shù)，f(2x)=
a•4x+a-24x+1
．
（1）寫出函數(shù)f（x）的定義域；
（2）求a，并寫出f（x）的表達式；
（3）用函數(shù)單調性定義證明：函數(shù)f（x）在定義域上是增函數(shù)．（可能用到的知識：若x1＜x2，則0＜2x1＜2x2，0＜4x1＜4x2）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-2x+3（x∈R）
（1）寫出函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間，并用定義加以證明．
（2）設函數(shù)f（x）=x2-2x+3（2≤x≤3）試利用（1）的結論直接寫出該函數(shù)的值域（用區(qū)間表示）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設f（x）是定義在（0，+∞）上的函數(shù)，對定義域內的任意x，y都滿足f（xy）=f（x）+f（y），且x＞1時，f（x）＞0．
（1）寫出一個符合要求的函數(shù)，并猜想f（x）在（0，+∞）上的單調性；
（2）若f（2）=1，解不等式f（x）+f（x-3）≤2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設y=f（x）為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對I上任意兩個實數(shù)x1，x2都有f(
x1+x2
2
)≤
1
2
[f(x1)+f(x2)]成立，則f（x）稱為I上的凹函數(shù)．
（1）判斷f(x)=
3
x
(x＞0)是否為凹函數(shù)？
（2）已知函數(shù)f2（x）=x|ax-3|（a≠0）為區(qū)間[3，6]上的凹函數(shù)，請直接寫出實數(shù)a的取值范圍（不要求寫出解題過程）；
（3）設定義在R上的函數(shù)f3（x）滿足對于任意實數(shù)x，y都有f3（x+y）=f3（x）•f3（y）．求證：f3（x）為R上的凹函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆廣東省實驗學校高一上學期期中數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

設f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，當時，y＝x；當x>2時，y＝f(x)的圖像時頂點在P(3,4),且過點A.(2,2)的拋物線的一部分

（1）      寫出函數(shù)f（x）在上的解析式；

（2）      在下面的直角坐標系中直接畫出函數(shù)f（x）的圖像；

（3）      寫出函數(shù)f(x)值域

 

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