Question

6．已知函數(shù)f（x）=xcosx-sinx+$\frac{1}{4}$x²，當(dāng)x∈（0，π）時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性．

解答 解：∵f（x）=xcosx-sinx+$\frac{1}{4}$x²，
∴f′（x）=cosx-xsinx-cosx+$\frac{1}{2}$x=-xsinx+$\frac{1}{2}$x，
令-xsinx+$\frac{1}{2}$x=0，則sinx=$\frac{1}{2}$，
又∵x∈（0，π），
∴x=$\frac{π}{6}$或x=$\frac{5π}{6}$；
則可知，當(dāng)x∈（0，$\frac{π}{6}$）∪（$\frac{5π}{6}$，π）時(shí)，f′（x）＞0，
當(dāng)x∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$）時(shí)，f′（x）＜0；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，$\frac{π}{6}$），（$\frac{5π}{6}$，π）；單調(diào)減區(qū)間是（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查三角函數(shù)問(wèn)題，判斷函數(shù)的單調(diào)性一般有兩種方法，定義法與導(dǎo)數(shù)法；要根據(jù)具體問(wèn)題選擇．