Question

18．已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面邊長(zhǎng)為1的正四棱柱，O₁是A₁C₁和B₁D₁的交點(diǎn)．
（1）若正四棱柱的高與底面邊長(zhǎng)相等，求二面角A-B₁D₁-A₁的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；
（2）若點(diǎn)C到平面AB₁D₁的距離為$\frac{4}{3}$，求正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高．

Answer 1

分析 （1）由題意，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱長(zhǎng)為1的正方體，連結(jié)AO₁，則∠AO₁A₁是二面角A-B₁D₁-A₁的平面角，由此能求出二面角A-B₁D₁-A₁的大小．
（2）設(shè)正四棱柱的高為h，以A₁為原點(diǎn)，A₁B₁為x軸，A₁D₁為y軸，A₁A為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高．

解答 解：（1）由題意，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱長(zhǎng)為1的正方體，…（1分）
連結(jié)AO₁，因?yàn)锳B₁=AD₁，O₁為B₁D₁的中點(diǎn)，所以AO₁⊥B₁D₁，…（2分）
又A₁C₁⊥B₁D₁，所以∠AO₁A₁是二面角A-B₁D₁-A₁的平面角．  …（3分）
因?yàn)锳A₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，所以AA₁⊥A₁C₁，…（4分）
所以，$tan∠A{O_1}{A_1}=\frac{{A{A_1}}}{{{A_1}{O_1}}}=\sqrt{2}$．　　　…（5分）
所以，二面角A-B₁D₁-A₁的大小為$arctan\sqrt{2}$．…（6分）
（2）設(shè)正四棱柱的高為h．
如圖以A₁為原點(diǎn)，A₁B₁為x軸，A₁D₁為y軸，A₁A為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，h），B₁（1，0，0），D₁（0，1，0），C（1，1，h），
$\overrightarrow{A{B_1}}=（1\;，\;0\;，\;-h）$，$\overrightarrow{A{D_1}}=（0\;，\;1\;，\;-h）$，$\overrightarrow{AC}=（1\;，\;1\;，\;0）$．　　…（2分）
設(shè)平面AB₁D₁一個(gè)法向量為$\vec n=（x\;，\;y\;，\;z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}\vec n⊥\overrightarrow{A{B_1}}\;\\ \vec n⊥\overrightarrow{A{D_1}}\;\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}\vec n•\overrightarrow{A{B_1}}=0\;\\ \vec n•\overrightarrow{A{D_1}}=0\;\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{x-hz=0}\\{y-hz=0}\end{array}\right.$，
取x-hx=h，得$\vec n=（h\;，\;h\;，\;1）$，…（5分）
所以，點(diǎn)C以平面AB₁D₁的距離為$d=\frac{{|\vec n•\overrightarrow{AC}|}}{|\vec n|}=\frac{2h}{{\sqrt{2{h^2}+1}}}=\frac{4}{3}$，
解得h=2．…（7分）
所以，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高為2．　　…（8分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查二面角的大小的求法，考查正四棱柱的高的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．