Question

18．$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$為三個非零向量，則①對空間任一向量$\overrightarrow p$，存在唯一實數(shù)組（x，y，z），使$\overrightarrow p=x\overrightarrow a+y\overrightarrow b+z\overrightarrow c$；②若$\overrightarrow a∥\overrightarrow b，\overrightarrow b∥\overrightarrow c$，則$\overrightarrow a∥\overrightarrow c$；③若$\overrightarrow a•\overrightarrow b=\overrightarrow b•\overrightarrow c$，則$\overrightarrow a=\overrightarrow c$；④$（{\overrightarrow a•\overrightarrow b}）•\overrightarrow c=\overrightarrow a•（{\overrightarrow b•\overrightarrow c}）$，以上說法一定成立的個數(shù)（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 ①利用空間向量基本定理可判斷①對空間任一向量$\overrightarrow p$，存在唯一實數(shù)組（x，y，z），使$\overrightarrow p=x\overrightarrow a+y\overrightarrow b+z\overrightarrow c$錯誤；
②利用非零向量共線的性質(zhì)可判斷②若$\overrightarrow a∥\overrightarrow b，\overrightarrow b∥\overrightarrow c$，則$\overrightarrow a∥\overrightarrow c$正確；
③利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可判斷③若$\overrightarrow a•\overrightarrow b=\overrightarrow b•\overrightarrow c$，則$\overrightarrow a=\overrightarrow c$錯誤；
④$（{\overrightarrow a•\overrightarrow b}）•\overrightarrow c=\overrightarrow a•（{\overrightarrow b•\overrightarrow c}）$錯誤．

解答 解：因為$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$為三個非零向量，所以，
對于①，當(dāng)$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$為三個非零共面向量時，對空間任一向量$\overrightarrow p$，不存在唯一實數(shù)組（x，y，z），使$\overrightarrow p=x\overrightarrow a+y\overrightarrow b+z\overrightarrow c$，故①錯誤；
對于②，∵$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$為三個非零向量，$\overrightarrow a∥\overrightarrow b，\overrightarrow b∥\overrightarrow c$，∴$\overrightarrow a∥\overrightarrow c$，故②正確；
對于③，若$\overrightarrow a•\overrightarrow b=\overrightarrow b•\overrightarrow c$，則$\overrightarrow•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）$=0，即$\overrightarrow$⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$），而不是$\overrightarrow a=\overrightarrow c$，故③錯誤；
對于④，$（{\overrightarrow a•\overrightarrow b}）•\overrightarrow c=\overrightarrow a•（{\overrightarrow b•\overrightarrow c}）$不一定成立，等號左端為$（\overrightarrow{a}•\overrightarrow）$倍的$\overrightarrow{c}$，等號右端為$（\overrightarrow•\overrightarrow{c}）$倍的$\overrightarrow{a}$，而$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{c}$不一定共線，故④錯誤．
綜上所述，以上說法一定成立的個數(shù)為1個，
故選：B．

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查空間向量基本定理、向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題．