n∈N，a＞b，求證：a 2 n＋1＞b 2 n＋1

 

答案：
解析：

證法1．（分類討論）．

① 當   則a 2 n＋1＞b 2 n＋1

② 當   則a 2 n＋1＞0，b 2 n＋1 = 0 ∴ a 2 n＋1＞b 2 n＋1

③ 當   則a 2 n＋1＞0，b 2 n＋1 ＜0 ∴ a 2 n＋1＞b 2 n＋1   

④ 當   則a 2 n＋1 = 0，b 2 n＋1 ＜0 ∴ a 2 n＋1＞b 2 n＋1

⑤ 當   則0＜－a＜－b

可得 (－a) 2 n＋1＜(－b) 2 n＋1

也就是－a2 n＋1＜－b 2 n＋1

∴ a 2 n＋1＞b 2 n＋1．

綜上所述，由a＞b，可得a 2 n＋1＞b 2 n＋1　　 ( n∈N )

證法2．∵a 2 n＋1－b 2 n＋1 = (a－b) (a 2n＋a 2n－1 b＋a 2n－2 b 2＋…＋a b 2n－1＋b 2n )

若，則．a 2n＋a 2n－1 b＋a 2n－2 b 2＋…＋a b 2n－1， b 2n＞0

若，則．a 2n－k · bk ＞0 （k = 0，1，…，2 n）

∴ (a－b) (a 2n＋a 2n－1 b＋…＋a b 2n－1＋b 2n ) ＞0

∴ a 2 n+1＞b 2 n+1

若a = 0，由a＞b，得b＜0，化簡得a 2 n＋1 = 0＞b 2 n+1；

若b = 0，由a＞b，得a＞0．從而得：a 2 n＋1 ＞0 = b 2 n+1

若，

∴ a 2 n＋1＞0＞b 2 n＋1．

∴ a＞b

可得a 2 n＋1＞b 2 n＋1　　　　 ( n∈N )．

 


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•南京二模）已知數(shù)列{an}的各項都為正數(shù)，且對任意n∈N*，都有
a
2
n+1
=anan+2+k（k為常數(shù)）．
（1）若k=(a2-a1)2，求證：a1，a2，a3成等差數(shù)列；
（2）若k=0，且a2，a4，a5成等差數(shù)列，求
a2
a1
的值；
（3）已知a1=a，a2=b（a，b為常數(shù)），是否存在常數(shù)λ，使得an+an+2=λan+1對任意n∈N*都成立？若存在．求出λ；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：數(shù)學教研室 題型：044

n∈N，a＞b，求證：a 2 n＋1＞b 2 n＋1

 

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已知f（x）=log2x，當點M（x，y）在y=f（x）的圖象上運動時，點N（x，ny）在函數(shù)y=gn（x）的圖象上運動（n∈N）．
（1）求y=gn（x）的解析式；
（2）求集合A={a|關(guān)于x的方程g1（x+2）=g2（x+a）有實根，a∈R}；
（3）設數(shù)學公式，函數(shù)F（x）=H1（x）-g1（x），（0＜a≤x≤b）的值域為數(shù)學公式，
求證：數(shù)學公式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知：m＞n，a＜b，求證：m－a＞n－b.

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