Question

已知f（x）=log₂x，當(dāng)點(diǎn)M（x，y）在y=f（x）的圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)N（x，ny）在函數(shù)y=g_n（x）的圖象上運(yùn)動(dòng)（n∈N）．
（1）求y=g_n（x）的解析式；
（2）求集合A={a|關(guān)于x的方程g₁（x+2）=g₂（x+a）有實(shí)根，a∈R}；
（3）設(shè)，函數(shù)F（x）=H₁（x）-g₁（x），（0＜a≤x≤b）的值域?yàn)?img class='latex' alt='數(shù)學(xué)公式' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/117063.png' />，
求證：．

Answer 1

解：（1）由條件知，又f（x）=log₂x∴解析式g_n（x）=nlog₂x．
（2）∵方程g₁（x+2）=g₂（x+a），即，
∴求集合A就是求方程有實(shí)根時(shí)a的范圍．
而，
∴時(shí)原方程總有實(shí)根，

∴集合．

（3）∵，
又在[a，b]上遞減，
∴，即①，
由與y=log₂x的圖象只有唯一交點(diǎn)知：方程只有唯一解，
經(jīng)檢驗(yàn)是方程組①的唯一解，故得證．
分析：（1）由于f（x）=log₂x，點(diǎn)N（x，ny）又在函數(shù)y=g_n（x）的圖象上運(yùn)動(dòng)（n∈N）．所以，直接代入即可；
（2）關(guān)于x的方程g₁（x+2）=g₂（x+a）有實(shí)根，即有實(shí)根，實(shí)質(zhì)是求函數(shù)y=的值域；
（3）函數(shù)F（x）=H₁（x）-g₁（x），（0＜a≤x≤b）的值域?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/117063.png' />，故此，本問題只需判斷出函數(shù)F（x）在[a，b]上的單調(diào)性即可求解a，b．
點(diǎn)評(píng)：待定系數(shù)法是求函數(shù)解析式的一種常見方法，例如問題（1）；轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中的重要思想之一，問題的轉(zhuǎn)化往往可以收到意想不到的效果，如問題（2）；問題（3）再次展現(xiàn)了求解函數(shù)最值時(shí)導(dǎo)數(shù)的工具性作用．