Question

3．已知f（x+1）=f（x-1），f（x）=f（-x+2），方程f（x）=0在[0，1]內(nèi)有且只有一個(gè)根x=$\frac{1}{2}$，則f（x）=0在區(qū)間[0，2016]內(nèi)根的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 2015
• B． 1007
• C． 2016
• D． 1008

Answer 1

分析 由條件推出f（1-x）=f（1+x），進(jìn)而推出f（x）為偶函數(shù)，且f（x）是周期等于2的周期函數(shù)，根據(jù)f（ $\frac{1}{2}$）=0，求出f（ $\frac{3}{2}$）=0，從而得到函數(shù)f（x）在一個(gè)周期的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，且函數(shù)f（x）在每?jī)蓚�(gè)整數(shù)之間都有一個(gè)零點(diǎn)，從而得到f（x）=0在區(qū)間[0，2016]內(nèi)根的個(gè)數(shù)．

解答 解：∵f（x）=f（-x+2），
∴f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，即f（1-x）=f（1+x）．
又f（x+1）=f（x-1），∴f（x-1）=f（1-x），即f（x）=f（-x），
故函數(shù)f（x）為偶函數(shù)．
再由f（x+1）=f（x-1）可得f（x+2）=f（x），
故函數(shù)f（x）是周期等于2的周期函數(shù)，
∵f（$\frac{1}{2}$）=0，
∴f（-$\frac{1}{2}$）=0，再由周期性得f（-$\frac{1}{2}$+2）=f（$\frac{3}{2}$）=0，
故函數(shù)f（x）在一個(gè)周期[0，2]上有2個(gè)零點(diǎn)，
即函數(shù)f（x）在每?jī)蓚�(gè)整數(shù)之間都有一個(gè)零點(diǎn)，
∴f（x）=0在區(qū)間[0，2016]內(nèi)根的個(gè)數(shù)為2016，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查方程的根的存在性及個(gè)數(shù)判斷，函數(shù)的奇偶性與周期性的應(yīng)用，抽象函數(shù)的應(yīng)用，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．